《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ a $,$ b $,$ c $ 分别是 $ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边,$ c = 2\sqrt{3} $,$ a = 3 $,解这个直角三角形。
思路点拨 已知斜边和一条直角边,可以先利用勾股定理求出另一条直角边,再利用正弦或余弦、直角三角形中两锐角互余求角的度数。
解 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ c = 2\sqrt{3} $,$ a = 3 $,
由勾股定理,得
$ b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} - 3^{2}} = \sqrt{3} $。
$ \therefore \sin A = \frac{a}{c} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
$ \therefore \angle A = 60^{\circ} $。
$ \therefore \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $。

答案： 在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ c = 2\sqrt{3} $，$ a = 3 $。
由勾股定理得：
$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} - 3^{2}} = \sqrt{12 - 9} = \sqrt{3}$。
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以$ \angle A = 60^{\circ} $。
由直角三角形两锐角互余得：
$ \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 30^{\circ} $。
综上，$b=\sqrt{3}$，$ \angle A = 60^{\circ} $，$ \angle B = 30^{\circ} $。

1. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 50^{\circ} $,$ AB = 2 $,则 $ AC $ 的长为( )。

A.$ 2\sin 40^{\circ} $
B.$ 2\sin 50^{\circ} $
C.$ 2\tan 50^{\circ} $
D.$ 2\tan 40^{\circ} $

答案： A

2. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = \sqrt{5} $,$ AB = 2\sqrt{5} $,则 $ \angle B $ 的度数为( )。

A.$ 90^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $

答案： B

如图 2,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,斜边 $ BC $ 上的高 $ AD = 4 $,$ \cos B = \frac{4}{5} $,则 $ CD $ 的长为____。

答案： 3 提示:由$\angle BAC=\angle ADC=90^{\circ },\angle C=\angle C$,得$\angle B=\angle CAD$.则$\cos \angle CAD=\frac {AD}{AC}=\cos B=\frac {4}{5}$.所以$AC=\frac {AD}{\cos B}=5$.故$CD=\sqrt {AC^{2}-AD^{2}}=3$.

4. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $。
(1) 已知 $ c = 6 $,$ a = 3 $,求 $ \angle A $,$ b $。
(2) 已知 $ a = 4 $,$ \angle B = 45^{\circ} $,求 $ b $,$ c $。

答案： 4.解:
(1)$\because \angle C=90^{\circ },c=6,a=3,\therefore b=\sqrt {c^{2}-a^{2}}=3\sqrt {3},\sin A=\frac {a}{c}=\frac {1}{2}.\therefore \angle A=30^{\circ }.$
(2)$\because \angle C=90^{\circ },a=4,\angle B=45^{\circ },\tan B=\frac {b}{a}=\tan 45^{\circ }=1,\therefore b=a=4,\therefore c=\sqrt {a^{2}+b^{2}}=4\sqrt {2}.$

1. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,已知 $ a $ 和 $ \angle A $,则下列结论正确的是( )。

A.$ c = a \cdot \sin A $
B.$ c = a \cdot \cos A $
C.$ c = \frac{a}{\sin A} $
D.$ c = \frac{a}{\cos A} $

答案： C

2. 图 3 是小夏同学家的一个衣架,它可以近似看成一个等腰三角形(如图 4 的 $ \triangle ABC $)。已知 $ AB = AC = 18 cm $,$ \angle B = \alpha $,则衣架的宽 $ BC $ 为( )。

A.$ 36\sin \alpha cm $
B.$ 36\cos \alpha cm $
C.$ 18\tan \alpha cm $
D.$ 18\cos \alpha m $

答案： B

3. 如图 5,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ AB = 2\sqrt{33} $,$ AC = 7 $,则 $ \tan \angle ACD $ 的值为( )。

A.$ \frac{\sqrt{33}}{4} $


B.$ \frac{\sqrt{33}}{7} $
C.$ \frac{4}{7} $
D.$ \frac{2\sqrt{33}}{7} $

答案： A 提示:由$\angle B=30^{\circ }$,得$AD=\frac {1}{2}AB=\sqrt {33}$.则$CD=\sqrt {AC^{2}-AD^{2}}=4$.故$\tan \angle ACD=\frac {AD}{CD}=\frac {\sqrt {33}}{4}$.

4. 如图 6,小刚同学要测量小河两岸相对的两点 $ P $,$ A $ 的距离,他在河岸边取 $ PA $ 的垂线 $ PB $ 上的一点 $ C $,测得 $ PC = 100 m $,$ \angle PCA = 35^{\circ} $,则小河宽 $ PA \approx $____ $ m $。(精确到 $ 1 m $,用计算器计算)

答案： 70