《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

3. (2024 山东泰安中考)在综合实践课上,数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度。他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无人机。如图 11,无人机在河上方距水面高 60 m 的点 P 处测得瞭望台正对岸 A 处的俯角为 50°,测得瞭望台顶端 C 处的俯角为 63.6°,已知瞭望台 BC 高 12 m(图中点 A,B,C,P 在同一平面内)。那么大汶河此河段的宽 AB 约为______m。(参考数据：sin 63.6° ≈ $\frac{9}{10}$,tan 50° ≈ $\frac{6}{5}$,tan 63.6° ≈ 2)

答案： 74 提示:由题知∠PCF = ∠NPC = 63.6°,∠BAP = ∠MPA = 50°,EF = BC = 12m,PE = 60m.所以PF = PE - EF = 48m.在Rt△PFC中,$\tan63.6^{\circ}=\frac{PF}{CF}\approx2$,所以CF≈24m.所以BE≈24m.在Rt△APE中,$\tan50^{\circ}=\frac{PE}{AE}\approx\frac{6}{5}$,所以AE≈50m.所以AB = AE + BE≈74m.

4. (2022 湖北黄冈中考)如图 12,有甲、乙两座建筑物,从甲建筑物顶端 A 处测得乙建筑物顶端 D 的俯角 α 为 45°,底部 C 的俯角 β 为 58°,BC 为这两座建筑物的水平距离。已知乙建筑物的高度 CD 为 6 m,则甲建筑物的高度 AB 约为______m。(结果保留整数；参考数据：sin 58° ≈ 0.85,cos 58° ≈ 0.53,tan 58° ≈ 1.60)

答案：
16 提示:如图23,过点D作DE⊥AB于点E.则BE = CD = 6m,∠ADE = 45°,∠ACB = 58°.设AE = xm,则DE = BC = xm,AB = AE + BE = (x + 6)m.在Rt△ABC中,由$\tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}$,得$\frac{x + 6}{x}=\tan58^{\circ}\approx1.60$.解得x≈10m.故AB = 16m.

5. (2022 黑龙江大庆中考改编)如图 13,为了修建跨江大桥,需要利用数学方法测量江的宽度 AB。飞机上的测量人员在 C 处测得 A,B 两点的俯角分别为 45°和 30°。已知飞机离地面的高度 CD 为 1 000 m,且点 D,A,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB 约为______m。(结果精确到 1 m；参考数据：√2 ≈ 1.414,√3 ≈ 1.732)

答案： 5.732 6.解:①选小明的方案.设BC = xm.在Rt△BCD中,
∵ ∠β = 60°,
∴ CD = BC·tan60° = $\sqrt{3}x$(m).在Rt△ACD中,
∵ $\tan\alpha=\frac{CD}{AC}$,AB = 13.12m,
∴ $\frac{\sqrt{3}x}{13.12 + x}=\tan37^{\circ}\approx0.75$.解得x≈10.04m.
∴ CD = $\sqrt{3}x\approx17.37$(m).
∵ CN = AM = 1.50m,
∴ DN = CD + CN≈17.37 + 1.50≈18.9(m).答:旗杆的高度约为18.9m.②选小东的方案.设CD = xm.在Rt△ACD中,
∵ ∠α = 37°,
∴ AC = $\frac{CD}{\tan37^{\circ}}\approx1.33x$(m).在Rt△BCD中,
∵ ∠β = 60°,
∴ BC = $\frac{CD}{\tan60^{\circ}}\approx0.58x$(m).
∴ AB = AC + BC = 1.33x + 0.58x = 33.12(m).解得x≈17.34m.
∵ CN = AM = 1.50m,
∴ DN = CD + CN≈17.34 + 1.50≈18.8(m).答:旗杆的高度约为18.8m.

6. 某校九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度。小明与小东分别采用不同的方案测量,他们研究报告的部分记录内容如右栏表格。
|课题|测量旗杆的高度|
|测量工具|测量角度的仪器、测量距离(单位：m)的皮尺等|
|测量成员|小明|小东|
|测量方案示意图|||


|示意图说明|旗杆的最高点 D 到地面的高度为 DN,在观测点 A,B 用仪器测得点 A,B 处的仰角分别为 α,β,点 A,B,C,D,M,N 均在同一竖直平面内,点 A,B,C 在同一条直线上|
|测量数据|AM = 1.50 m,AB = 13.12 m,∠α = 37°,∠β = 60°|AM = 1.50 m,AB = 33.12 m,∠α = 37°,∠β = 60°|
|参考数据|sin 37° ≈ 0.60,cos 37° ≈ 0.80,tan 37° ≈ 0.75,√3 ≈ 1.73|
请从小明和小东的方案中,任选其中一个方案,根据其数据求出旗杆的高度。(精确到 0.1 m)

答案： 选择小明的方案：
设BC = x m，仪器到D点的垂直高度为h m。
由题意得：AM = 1.50 m，AB = 13.12 m，∠α=37°，∠β=60°。
在Rt△中，tanβ = h/BC ⇒ h = x tan60°；tanα = h/(AB + BC) ⇒ h = (13.12 + x) tan37°。
则x tan60° = (13.12 + x) tan37°。
代入tan60°≈1.73，tan37°≈0.75：
1.73x = 0.75(13.12 + x)
1.73x = 9.84 + 0.75x
0.98x = 9.84
x≈10.04。
h = 10.04×1.73≈17.37。
DN = h + AM≈17.37 + 1.50 = 18.9 m。
答：旗杆的高度约为18.9 m。
选择小东的方案：
设AC = x m，仪器到D点的垂直高度为h m。
由题意得：AM = 1.50 m，AB = 33.12 m，∠α=37°，∠β=60°。
在Rt△中，tanα = h/AC ⇒ h = x tan37°；tanβ = h/(AB - AC) ⇒ h = (33.12 - x) tan60°。
则x tan37° = (33.12 - x) tan60°。
代入tan37°≈0.75，tan60°≈1.73：
0.75x = 1.73(33.12 - x)
0.75x = 57.2976 - 1.73x
2.48x≈57.2976
x≈23.10。
h = 23.10×0.75≈17.33。
DN = h + AM≈17.33 + 1.50 = 18.8 m。
答：旗杆的高度约为18.8 m。
（注：以上两种方案任选其一即可，此处以小明方案为例，最终答案为18.9 m）
18.9