《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例1 已知下列结论：①直径是弦,弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④半圆是弧,但弧不一定是半圆；⑤圆既是轴对称图形,又是中心对称图形；⑥圆有无数条对称轴,每一条直径都是它的对称轴。其中,正确的结论有( )。

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
思路点拨 根据圆的相关概念及圆的对称性逐一判断。
解 弦是连接圆上任意两点的线段,因此直径是弦；而弦不一定是直径,只有经过圆心的弦才是直径。故结论①错误。
半径相等的两个半圆能够重合,是等弧。故结论②正确。
能够完全重合的两条弧是等弧,长度相等的两条弧不一定能重合。故结论③错误。
弧是圆上任意两点间的部分,因此半圆是弧,但弧不一定是半圆,只有直径的两个端点间的部分才是半圆。故结论④正确。
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。故结论⑤正确。
圆有无数条对称轴,每一条直径所在的直线都是它的对称轴,但不能说直径是它的对称轴。故结论⑥错误。
综上,正确的结论有3个。
答案 A

答案： A

例2 如图4,已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 10\ cm$,$BC = 12\ cm$,$AD \perp BC于点D$,$P为AD$上的点,$PD = 2\ cm$。以点$P$为圆心、$6\ cm$为半径画圆,分别判断点$A$,$B$,$C$,$D与\odot P$的位置关系。

思路点拨 计算各点到点$P$的距离,再与半径比较大小,为此,需要连接$PB$,$PC$。
解 如图5,连接$PB$,$PC$。

$\because AB = AC = 10\ cm$,$BC = 12\ cm$,$AD \perp BC$,
$\therefore BD = CD = 6\ cm$。
$\therefore AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8(cm)$。
$\because DP = 2\ cm$,
$\therefore AP = AD - DP = 8 - 2 = 6(cm)$。
$\therefore PB = \sqrt{PD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2\sqrt{10}(cm)$,
$PC = \sqrt{PD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2\sqrt{10}(cm)$。
$\because PA = 6\ cm$,$PB = PC = 2\sqrt{10}\ cm ＞ 6\ cm$,$PD = 2\ cm ＜ 6\ cm$,
$\therefore$ 点$A在\odot P$上,点$B$,$C在\odot P$外,点$D在\odot P$内。

答案： 连接$PB$，$PC$。
$\because AB=AC=10\,cm$，$BC=12\,cm$，$AD\perp BC$，
$\therefore BD=CD=6\,cm$。
$\therefore AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\,cm$。
$\because DP=2\,cm$，
$\therefore AP=AD - DP=8 - 2=6\,cm$。
$\therefore PB=\sqrt{PD^2 + BD^2}=\sqrt{2^2 + 6^2}=2\sqrt{10}\,cm$，
$PC=\sqrt{PD^2 + CD^2}=\sqrt{2^2 + 6^2}=2\sqrt{10}\,cm$。
$\because PA=6\,cm$，$PB=PC=2\sqrt{10}\,cm\gt6\,cm$，$PD=2\,cm\lt6\,cm$，
$\therefore$点$A$在$\odot P$上，点$B$，$C$在$\odot P$外，点$D$在$\odot P$内。