《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

构建反比例函数模型的依据：
(1)利用所学的公式构建反比例函数模型；
(2)利用问题情境中给出的数量关系构建反比例函数模型。

答案： 构建反比例函数模型的依据为利用所学公式和问题情境中的数量关系。

1. 甲、乙两地相距 200 km,小王驾驶汽车从甲地到乙地所用时间 $ y $(h)与汽车平均速度 $ x $(km/h)之间的函数表达式为____。

答案： $\frac{200}{x}$

2. 图 1 是一蓄水池每小时的平均排水量 $ V $(m^3/h)与排完水池中的水所用时间 $ t $(h)之间的函数关系的图象。若要 5 h 排完水池中的水,则每小时的平均排水量应为____m^3。

答案： 9.6 提示:由已知,得$V=\frac{48}{t}$.当$t=5$时,$V=\frac{48}{5}=9.6$.

例 心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,指标不低于 36 时为认真听讲阶段,学生注意力指标 $ y $ 随时间 $ x $(min)变化的函数图象如图 2。其中,$ 0 \leq x \leq 10 $ 和 $ 10 \leq x \leq 20 $ 两段图象是线段,$ 20 \leq x \leq 45 $ 的图象是反比例函数图象的一部分。

(1) 求点 $ A $ 对应的指标值。
(2) 李老师要在一节课上讲一道数学综合题,需 17 min,他能否经过适当的安排,在学生认真听讲阶段进行讲解？

答案：
(1) 设20≤x≤45时，反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$。
∵该段图象过点$C(20,45)$，
∴$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，即$y=\frac{900}{x}$。
当$x=45$时，$y=\frac{900}{45}=20$，故$D(45,20)$。
∵点$A$与$D$纵坐标相同，
∴$A(0,20)$，点$A$对应的指标值为20。
(2) ①0≤x≤10时，设线段表达式为$y=mx+n$。
∵过$A(0,20)$和$B(10,45)$，
∴$n=20$，$45=10m+20$，解得$m=2.5$，即$y=2.5x+20$。
令$y=36$，则$36=2.5x+20$，解得$x=6.4$。
②10≤x≤20时，线段表达式为$y=45$（水平线段），此时$y=45≥36$，区间为[10,20]。
③20≤x≤45时，由$y=\frac{900}{x}≥36$，解得$x≤25$，区间为[20,25]。
综上，$y≥36$的连续区间为[6.4,25]，时长为$25-6.4=18.6(min)$。
∵18.6≥17，
∴能安排。
(1) 20
(2) 能