《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：当$\Delta \geqslant 0$时,设方程$ax^{2}+bx+c= 0(a \neq 0)的两根是x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______.即两根的和等于一次项系数与二次项系数的______,两根的积等于常数项与二次项系数的______.

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ 比的相反数 比

1. 已知一元二次方程$3x^{2}+7x-9= 0的两个实数根分别为x_{1}$,$x_{2}$,根据一元二次方程的根与系数的关系,可得$x_{1}x_{2}$的值为( ).

A.$3$
B.$7$
C.$-9$
D.$-3$

答案： D

2. 若一元二次方程$2x^{2}+6x-1= 0的两个实数根分别为x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}$的值为______.

答案： -3

例1 已知$\alpha$,$\beta是方程x^{2}-4x-2= 0$的两个实数根,求下列代数式的值：
(1)$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$；(2)$\alpha^{2}+\beta^{2}$；(3)$(\alpha-\beta)^{2}$.
思路点拨 将所求代数式化成用$\alpha+\beta和\alpha\beta$表示的式子,然后整体代入进行计算.
解 由根与系数的关系,得
$\alpha+\beta=4$,$\alpha\beta=-2$.
(1)$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{4}{-2}= -2$.
(2)$\alpha^{2}+\beta^{2}= (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=4^{2}-2×(-2)= 20$.
(3)$(\alpha-\beta)^{2}= (\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta=4^{2}-4×(-2)= 24$.

答案： 由根与系数的关系，得$\alpha + \beta = 4$，$\alpha\beta=-2$。
(1)$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{4}{-2}=-2$。
(2)$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=4^{2}-2×(-2)=16 + 4=20$。
(3)$(\alpha - \beta)^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta=4^{2}-4×(-2)=16 + 8=24$。