《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 解直角三角形的依据：
在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边分别记作 $ a $,$ b $,$ c $。
(1) 三边关系：$ a^{2} + b^{2} = $____(勾股定理)。
(2) 互余关系：$ \angle A + \angle B = $____。

答案： 1.
(1)$c^{2}$
(2)$90^{\circ }$

2. 解直角三角形的基本类型及解法。
| 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $ |
| 已知条件 | 选择的边角关系 |
| 斜边和一直角边 $ c $,$ a $ | 由 $ \sin A = \frac{a}{c} $,求 $ \angle A $；$ \angle B = 90^{\circ} - \angle A $；$ b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} $ |
| 两直角边 $ a $,$ b $ | 由 $ \tan A = \frac{a}{b} $,求 $ \angle A $；$ \angle B = 90^{\circ} - \angle A $；$ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $ |
| 斜边和一锐角 $ c $,$ \angle A $ | $ \angle B = 90^{\circ} - \angle A $；$ a = c \cdot \sin A $；$ b = c \cdot \cos A $ |
| 一直角边和一锐角 $ a $,$ \angle A $ | $ \angle B = 90^{\circ} - \angle A $；$ b = \frac{a}{\tan A} $；$ c = \frac{a}{\sin A} $ 或 $ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $ |

答案： 上述表格内容即为解直角三角形的基本类型及解法。

1. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ a $,$ b $,$ c $ 分别是 $ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边,则下列结论正确的是( )。

A.$ b = a \cdot \tan A $
B.$ b = c \cdot \sin A $
C.$ a = c \cdot \cos B $
D.$ c = a \cdot \sin A $

答案： C

2. (2024 吉林长春中考改编)
2024 年 5 月 29 日 16 时 12 分,长春净月一号卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射。如图 1,当火箭上升到点 $ A $ 时,位于海平面 $ R $ 处的雷达测得点 $ R $ 到点 $ A $ 的距离为 $ a km $,仰角为 $ \theta $,则此时火箭距海平面的高度 $ AL $ 为____ $ km $。

答案： $a\sin \theta $

3. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $。
(1) 若 $ c = 8\sqrt{3} $,$ \angle A = 60^{\circ} $,则 $ \angle B = $____,$ b = $____,$ a = $____。
(2) 若 $ a = 20 $,$ c = 20\sqrt{2} $,则 $ \angle A = $____,$ \angle B = $____,$ b = $____。

答案： 3.
(1)$30^{\circ }$ $4\sqrt {3}$ 12
(2)$45^{\circ }$ $45^{\circ }$ 20