《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 1 (2022 江苏泰州中考)如图 5,在长为 50 m,宽为 38 m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的部分铺上草坪。要使草坪的面积为$ 1260 m^2,$道路的宽应为多少米？

思路点拨 设道路的宽为 x m,则草坪的长为 (50 - 2x) m,宽为 (38 - 2x) m,根据“矩形的面积 = 长×宽”列方程求解。
解 设道路宽为 x m。
根据题意,得
(50 - 2x)(38 - 2x) = 1260。
整理,得$ x^2 - 44x + 160 = 0。$
解得$ x_1 = 4,x_2 = 40($不合题意,舍去)。
答：道路的宽应为 4 m。

答案： 设道路的宽为 $x$ 米。
根据题意，草坪的长为 $(50 - 2x)$ 米，宽为 $(38 - 2x)$ 米。
由草坪面积为 $1260$ 平方米，根据矩形面积公式，面积 = 长 × 宽，可列方程：
$(50 - 2x)(38 - 2x) = 1260$，
展开并整理得：
$x^2 - 44x + 160 = 0$，
解这个一元二次方程，得到：
$x_1 = 4, \quad x_2 = 40$，
由于 $x_2 = 40$ 不合题意（道路宽度不可能等于或超过矩形地面的宽度或长度的一半，否则草坪面积为0或负数），所以舍去。
因此，道路的宽应为 $4$ 米。

例 2 如图 6,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 6 cm,BC = 8 cm。点 P 从点 A 出发,沿 AC 边以 1 cm/s 的速度向点 C 移动；点 Q 从点 C 出发,沿 CB 边以 2 cm/s 的速度向点 B 移动。
(1)若点 P,Q 同时出发,则移动多少秒时,△PCQ 的面积为 8 cm^2？
(2)在点 P,Q 移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半？若存在,则求出移动时间；若不存在,则请说明理由。

思路点拨 本题是一个动态几何问题,可设移动时间为 x s,用 x 表示出 PC 与 CQ 的长,再根据面积公式列方程求解。
解 (1)设移动 x s 时,△PCQ 的面积为 8 cm^2,则 AP = x cm,PC = (6 - x) cm,CQ = 2x cm。
由题意,得 $\frac{1}{2}·(6 - x)·2x = 8$。
整理,得 x^2 - 6x + 8 = 0。
解得 x_1 = 2,x_2 = 4。
当 x = 2 或 x = 4 时,0 cm ＜ AP ≤ 6 cm,0 cm ＜ CQ ≤ 8 cm,符合题意。
答：移动 2 s 或 4 s 时,△PCQ 的面积为 8 cm^2。
(2)不存在。理由：设移动 y s 时,△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半。
由题意,得
$\frac{1}{2}·(6 - y)·2y = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×8$。
整理,得 y^2 - 6y + 12 = 0。
因为 Δ = (-6)^2 - 4×1×12 = -12 ＜ 0,
所以此方程没有实数根。
答：不存在使△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半的时刻。

答案：
(1) 设移动 $x$ s 时，$\bigtriangleup PCQ$ 的面积为 $8$ $cm^2$，
则：$AP = x$ cm，$PC = (6 - x)$ cm，$CQ = 2x$ cm，
由题意，得：
$\frac{1}{2} × (6 - x) × 2x = 8$，
整理得：
$x^2 - 6x + 8 = 0$，
解得：
$x_1 = 2$，
$x_2 = 4$。
当 $x = 2$ 或 $x = 4$ 时，符合题意。
答：移动 $2$ s 或 $4$ s 时，$\bigtriangleup PCQ$ 的面积为 $8 cm^2$。
(2) 不存在。
理由：设移动 $y$ s 时，$\bigtriangleup PCQ$ 的面积等于 $\bigtriangleup ABC$ 面积的一半。
由题意，得：
$\frac{1}{2} × (6 - y) × 2y = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 6 × 8$，
整理得：
$y^2 - 6y + 12 = 0$，
因为：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × 12 = -12 ＜ 0$，
所以此方程没有实数根。
答：不存在使 $\bigtriangleup PCQ$ 的面积等于 $\bigtriangleup ABC$ 的面积的一半的时刻。