《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点与抛物线 $ y = -(x - 2)^2 $ 的顶点相同,且与直线 $ y = 3x - 13 $ 的交点 $ A $ 的横坐标为 3。
(1)求抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 所对应的函数的表达式。
(2)将抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 向左平移 3 个单位,求所得抛物线所表示的函数表达式。

答案： 解:
(1)把x=3代入y=3x−13,得y=−4.故A(3,−4).由抛物线y=a(x−h)²的顶点与抛物线y=−(x−2)²的顶点相同,得h=2.把A(3,−4)代入y=a(x−2)²,得a(3−2)²=−4.解得a=−4.因此抛物线所对应的函数的表达式为y=−4(x−2)².
(2)将抛物线y=−4(x−2)²向左平移3个单位,得抛物线y=−4(x+1)².

7. 将二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象向右平移 1 个单位后,得到函数 $ y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 $ 的图象。
(1)求 $ a, h $ 的值。
(2)写出二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象的对称轴和顶点坐标。
(3)在图 3 的平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象。

答案：
解:
(1)由题意,得a=−$\frac{1}{2}$,h+1=4.所以h=3.
(2)二次函数y=−$\frac{1}{2}$(x−3)²的图象的对称轴是x=3,顶点坐标是(3,0).
(3)因为对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),所以自变量x从顶点的横坐标3开始取值.
列表:
|x|3|4|5|...|
|----|----|----|----|----|
|y=−$\frac{1}{2}$(x−3)²|0|−$\frac{1}{2}$|−2|...|
描点和连线:先根据表中数据描点并用光滑的曲线顺次连接,画出图象在对称轴右边的部分,再利用对称性,画出图象在对称轴左边的部分.图象如图37.

8. 如图 4,已知二次函数 $ y = (x + 2)^2 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $。
(1)求点 $ A, B $ 的坐标及 $ \triangle AOB $ 的面积。
(2)在抛物线 $ y = (x + 2)^2 $ 的对称轴上是否存在点 $ P $,使以点 $ P, A, O, B $ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,则求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,则请说明理由。

答案：
解:
(1)令y=0,得(x+2)²=0.解得x=−2.所以A(−2,0).令x=0,得y=4.所以B(0,4).所以OA=2,OB=4.所以S△AOB=$\frac{1}{2}$OA·OB=4.
(2)存在.如图38,抛物线y=(x+2)²的对称轴为直线x=−2.因为点P在对称轴上,即P,A两点在直线x=−2上,B,O两点在y轴上,所以OB//AP.当AP=OB=4时,以点P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形.故存在满足条件的点P,点P的坐标为(−2,4)或(−2,−4).