《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. (2023 广西中考)将抛物线 $ y = x^2 $ 向右平移 $ 3 $ 个单位,再向上平移 $ 4 $ 个单位,得到的抛物线对应的函数表达式是( )。

A.$ y = (x - 3)^2 + 4 $
B.$ y = (x + 3)^2 + 4 $
C.$ y = (x + 3)^2 - 4 $
D.$ y = (x - 3)^2 - 4 $

答案： A

2. (2022 新疆中考)关于抛物线 $ y = (x - 2)^2 + 1 $,下列结论错误的是( )。

A.开口向上
B.对称轴为直线 $ x = 2 $
C.顶点坐标为 $ (2, 1) $
D.当 $ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： D

3. 如图 3,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y_1 = \frac{1}{4}(x - h)^2 + k $ 与 $ y_2 = \frac{1}{2}(x - m)^2 + n $ 有相同的对称轴,则下列关系中不正确的是( )。


A.$ h = m $
B.$ h = n $
C.$ k ＞ n $
D.$ h ＞ 0 $,$ k ＞ 0 $
小锦囊 根据抛物线顶点在 $ x $ 轴的上方或下方来判断 $ k $ 和 $ n $ 的大小关系。

答案： B 提示:由表达式可知,抛物线$y1=1/4(x-h)^2+k$的对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,k);抛物线$y2=1/2(x-m)^2+n$的对称轴为直线x=m,顶点坐标为(m,n).因为两条抛物线有相同的对称轴,所以h=m,由题图可知h＞0,k＞0,m＞0,n＜0,所以k＞n.故选项A,C,D正确,选项B不正确.

4. 二次函数 $ y = -(x - 6)^2 + 8 $ 有最______值(填“大”或“小”),这个最值是______。

答案： 大 8

5. 已知一条抛物线的顶点坐标为 $ (4, -1) $,与 $ y $ 轴交于点 $ (0, 3) $,则这条抛物线所表示的二次函数的表达式是______。

答案： $y=1/4(x-4)^2-1$

6. 已知二次函数 $ y = -\frac{3}{4}(x - 1)^2 + 3 $。
(1)请你直接写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。
(2)在图 4 所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象。(网格单位长度为 1,描点、连线画出图象,不要求列表、写画法)

(3)判断点 $ P(5, -8) $ 是否在该二次函数的图象上。

答案： 解:
(1)二次函数$y=-3/4(x-1)^2+3$图象的顶点坐标是(1,3),对称轴是直线x=1.
(2)图象如图 40(见左栏).
(3)在$y=-3/4(x-1)^2+3$中,当x=5时,y=-9≠-8,所以点P(5,-8)不在该二次函数图象上.

7. 已知抛物线 $ y = a(x - 3)^2 + 2 $ 经过点 $ (1, -2) $。
(1)$ a = $______,该抛物线的对称轴是直线______。
(2)若点 $ A(m, y_1) $,$ B(n, y_2) $($ m ＜ n ＜ 3 $)都在该抛物线上,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是______。(用“＜”连接)

答案：
(1)-1 x=3
(2)y1 ＜ y2 提示:因为抛物线$y=-(x-3)^2+2$的对称轴是直线x=3,m ＜ n ＜ 3,所以点A(m,y1),B(n,y2)在对称轴的左侧.又因为抛物线开口向下,所以在对称轴左侧y随x的增大而增大.因此y1 ＜ y2.