《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 已知抛物线 $ y = -x^2 + (m - 2)x + m + 1 $。
(1)求证：$ m $ 取任意实数,抛物线都与 $ x $ 轴有两个交点。
(2)若抛物线与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为 $ 3 $,求 $ m $ 的值。
思路点拨 (1)根据二次函数与一元二次方程的联系,只要证明 $ \Delta ＞ 0 $ 即可。
(2)设抛物线与 $ x $ 轴的两个交点坐标为 $ (x_1, 0) $,$ (x_2, 0) $,则 $ |x_1 - x_2| = 3 $,根据根与系数的关系即可求解。
解 (1)因为 $ \Delta = (m - 2)^2 - 4 × (-1) × (m + 1) = m^2 + 8 $,且 $ m^2 \geq 0 $,
所以 $ m^2 + 8 ＞ 0 $,即 $ \Delta ＞ 0 $。
因此 $ m $ 取任意实数,抛物线都与 $ x $ 轴有两个交点。
(2)设抛物线与 $ x $ 轴的两个交点坐标为 $ (x_1, 0) $,$ (x_2, 0) $,则 $ x_1 $,$ x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^2 + (m - 2)x + m + 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根。
所以 $ x_1 + x_2 = m - 2 $,$ x_1x_2 = -(m + 1) $。
由题意,得 $ |x_1 - x_2| = 3 $。
所以 $ (x_1 - x_2)^2 = 9 $,
即 $ (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9 $。
故 $ (m - 2)^2 + 4(m + 1) = 9 $。
解得 $ m = 1 $ 或 $ m = -1 $。

答案：
(1)证明：对于抛物线$y = -x^2 + (m - 2)x + m + 1$，其对应的一元二次方程为$-x^2 + (m - 2)x + m + 1 = 0$，判别式$\Delta=(m - 2)^2 - 4×(-1)×(m + 1)$，化简得$\Delta = m^2 - 4m + 4 + 4m + 4 = m^2 + 8$。因为$m^2\geq0$，所以$m^2 + 8＞0$，即$\Delta＞0$，故$m$取任意实数，抛物线都与$x$轴有两个交点。
(2)解：设抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，则$x_1$，$x_2$是方程$-x^2 + (m - 2)x + m + 1 = 0$的两根。由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = m - 2$，$x_1x_2=-(m + 1)$。因为$|x_1 - x_2| = 3$，所以$(x_1 - x_2)^2 = 9$，即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9$，代入得$(m - 2)^2 - 4×(-(m + 1)) = 9$，化简得$m^2 - 4m + 4 + 4m + 4 = 9$，$m^2 + 8 = 9$，$m^2 = 1$，解得$m = 1$或$m=-1$。

例 3 利用二次函数的图象求一元二次方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解。
思路点拨 思路一：将方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的根看成抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 与 $ x $ 轴的交点的横坐标。思路二：将方程的根看成抛物线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = 4x - 3 $ 的交点的横坐标。思路三：将方程的根看成抛物线 $ y = x^2 - 4x $ 与直线 $ y = -3 $ 的交点的横坐标。
解 方法一：如图 4,在平面直角坐标系中画出抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $。由图象可知,抛物线与 $ x $ 轴的交点的横坐标分别为 $ 1 $,$ 3 $,所以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $,$ x_2 = 3 $。

方法二：如图 5,在平面直角坐标系中分别画出抛物线 $ y = x^2 $ 和直线 $ y = 4x - 3 $,它们的交点的横坐标分别为 $ 1 $,$ 3 $,所以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $,$ x_2 = 3 $。


方法三：如图 6,在平面直角坐标系中分别画出抛物线 $ y = x^2 - 4x $ 与直线 $ y = -3 $,它们的交点的横坐标分别为 $ 1 $,$ 3 $,所以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $,$ x_2 = 3 $。

答案： 解：
方法一：
在平面直角坐标系中画出抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $。
由图象可知，抛物线与 $ x $ 轴的交点的横坐标分别为 $ 1 $ 和 $ 3 $。
所以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。
方法二：
在平面直角坐标系中分别画出抛物线 $ y = x^2 $ 和直线 $ y = 4x - 3 $。
它们的交点的横坐标分别为 $ 1 $ 和 $ 3 $。
所以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。
方法三：
在平面直角坐标系中分别画出抛物线 $ y = x^2 - 4x $ 与直线 $ y = -3 $。
它们的交点的横坐标分别为 $ 1 $ 和 $ 3 $。
所以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。