《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 已知$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程2x^{2}-3x-1= 0$的两个根,求下列代数式的值：
(1)$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$；(2)$(x_{1}+\dfrac{1}{x_{2}})(x_{2}+\dfrac{1}{x_{1}})$.

答案： 解：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$.
(1)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$.
(2)$(x_{1}+\frac{1}{x_{2}})(x_{2}+\frac{1}{x_{1}})=x_{1}x_{2}+2+\frac{1}{x_{1}x_{2}}=-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$.

6. 在解关于$x的一元二次方程x^{2}+bx+c= 0$时,小明看错了一次项系数$b$,得到的根为$x_{1}= 1$,$x_{2}= 6$；小刚看错了常数项$c$,得到的根为$x_{1}= 1$,$x_{2}= 4$.则原一元二次方程是______.

答案： $x^{2}-5x+6=0$ 提示：由小明的结果可知$c=1×6=6$.由小刚的结果可知$b=-(1+4)=-5$.因此原一元二次方程是$x^{2}-5x+6=0$.

7. 已知$\alpha$,$\beta是关于x的一元二次方程x^{2}+(2m+3)x+m^{2}= 0(m \neq 0)$的两个不相等的实数根,且满足$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=-1$,求$m$的值.

答案： 解：由根与系数的关系，得$\alpha+\beta=-(2m+3)$，$\alpha\beta=m^{2}$.所以$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{-(2m+3)}{m^{2}}=-1$.整理，得$m^{2}-2m-3=0$.解得$m_{1}=3$，$m_{2}=-1$.由题意，得$\Delta=(2m+3)^{2}-4m^{2}＞0$.解得$m＞-\frac{3}{4}$.因此$m=3$.

8. 【阅读材料】
材料1：若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a \neq 0)的两个根分别为x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= -\dfrac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \dfrac{c}{a}$.
材料2：已知实数$m$,$n满足m^{2}-m-1= 0$,$n^{2}-n-1= 0$,且$m \neq n$,求$\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}$的值.
解：由已知得,$m$,$n可看作方程x^{2}-x-1= 0$的两个不相等的实数根.根据材料1得$m+n= 1$,$mn= -1$,所以$\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}= \dfrac{m^{2}+n^{2}}{mn}= \dfrac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}= \dfrac{1^{2}-2×(-1)}{-1}= -3$.
【材料理解】(1)若一元二次方程$5x^{2}+10x-1= 0的两个实数根为x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______.
【类比探究】(2)已知实数$m$,$n满足7m^{2}-7m-1= 0$,$7n^{2}-7n-1= 0$,且$m \neq n$,求$m^{2}n+mn^{2}$的值.
【思维拓展】(3)已知实数$s$,$t分别满足s^{2}+s-1= 0$,$\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{t}-1= 0$,且$s \neq \dfrac{1}{t}$,则$\dfrac{st+s+1}{t}$的值为______.

答案：
(1)-2 $-\frac{1}{5}$
(2)由已知得，$m$，$n$可看作方程$7x^{2}-7x-1=0$的两个不相等的实数根.所以$m+n=1$，$mn=-\frac{1}{7}$.所以$m^{2}n+mn^{2}=mn(m+n)=-\frac{1}{7}×1=-\frac{1}{7}$.
(3)-2 提示：由已知得，实数$s$，$\frac{1}{t}$可看作方程$x^{2}+x-1=0$的两个不相等的实数根.所以$s+\frac{1}{t}=-1$，$s\cdot\frac{1}{t}=-1$.所以$\frac{st+s+1}{t}=s+\frac{s}{t}+\frac{1}{t}=(s+\frac{1}{t})+s\cdot\frac{1}{t}=-1-1=-2$.