《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. (数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中,有个“井深几何”问题：今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何？根据该问题可画出示意图如图15,则井深BD为______尺。
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答案： 57.5

7. (2022陕西中考)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高。如图16,在某一时刻,他们在阳光下分别测得该建筑物OB的影长OC为16m,OA的影长OD为20m,小明的影长FG为2.4m,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG。已知小明的身高EF为1.8m,求旗杆的高AB。
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答案： 解：(方法一)
∵ AO⊥OD，EF⊥FG，
∴ ∠AOD=
∠EFG=90°.由题意，得EG//AD//BC.
∴ ∠EGF=
∠ADO=∠BCO.
∴ △EFG∽△AOD∽△BOC.
∴ $\frac{EF}{AO}=\frac{FG}{OD}$，$\frac{EF}{BO}=\frac{FG}{OC}$.又EF=1.8 m，FG=2.4 m，OD=
20 m，OC=16 m.
∴ $\frac{1.8}{AO}=\frac{2.4}{20}$，$\frac{1.8}{BO}=\frac{2.4}{16}$.
∴ AO=
15 m，BO=12 m.
∴ AB=AO-BO=15-12=3(m).
答：旗杆的高AB为3 m. (方法二)由题意，得EG//AD//
BC.
∴ ∠EGF=∠ADO.过点C作CM⊥OD于点C，交
AD于点M，则∠MCD=90°.
∵ EF⊥FG，
∴ ∠EFG=
90°.
∴ ∠EFG=∠MCD.
∴ △EGF∽△MDC.
∴ $\frac{EF}{MC}=\frac{FG}{CD}$.
∵ EF=1.8 m，OD=20 m，OC=16 m，
FG=2.4 m，
∴ $\frac{1.8}{MC}=\frac{2.4}{20-16}$.
∴ MC=3 m.
∵ CM⊥
OD，AO⊥OD，
∴ CM//AB.又AM//BC，
∴ 四边形
AMCB是平行四边形.
∴ AB=CM=3 m.答：旗杆的高
AB是3 m.

8. 综合与实践
【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度。
【准备工具】标杆、皮尺、激光仪等工具。
【实践操作】如图17,AB表示路灯的高度。善思小组在路灯旁的水平空地上直立一根高2m的标杆CD,调整地面上激光仪的位置点E,使从点E处发出的激光束恰好同时经过点D,A(图中各点均在同一平面内),测得CE= 3m,BC= 5.7m。
【问题解决】(1)根据善思小组的测量数据,计算路灯的高度。
【反思交流】(2)一名同学对善思小组的方案提出问题：如果路灯底部不可以直接到达,将无法测得线段BC的长,最后不能求得路灯的高度。善思小组对原方案进行补充改进：如图18,在点E处再直立一根同样高度的标杆EF,调整地面上激光仪的位置点G,使从点G处发出的激光束恰好同时经过点F,A。若GE= a m,请你根据改进后的方案用含a的代数式表示路灯的高度AB。
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答案： 解：
(1)
∵ AB//CD，
∴ △ECD∽△EBA.
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BE}$.
∵ CE=3 m，BC=5.7 m，CD=2 m，
∴ BE=CE+BC=3+5.7=8.7(m).
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{8.7}$解得AB=
5.8 m.
(2)由
(1)得$\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BE}$.又CE=3 m，CD=2 m，
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{3+BC}$.整理，得BC=$\frac{3}{2}AB-3$.
∵ AB//
EF，
∴ △EFG∽△BAG.
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{GE}{GB}$.又CE=3 m，
EF=2 m，GE=a m，
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{a}{a+3+BC}$.
∴ $\frac{2}{AB}=$
$\frac{a}{a+\frac{3}{2}AB}$.解得AB=$\frac{2a}{a-3}$m.