《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例2 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2= 0有两个不相等的实数根x_{1}$,$x_{2}$.
(1)求$a$的取值范围.
(2)已知$x_{1}$,$x_{2}满足x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 16$,求$a$的值.
思路点拨 (1)根据$\Delta ＞0$,列出关于$a$的不等式,解不等式即可.
(2)根据根与系数的关系,用含$a的代数式表示出x_{1}+x_{2}$,$x_{1}x_{2}$,再整体代入已知等式,列出关于$a$的方程.
解 (1)由题意,得
$\Delta =[-2(a-1)]^{2}-4(a^{2}-a-2)＞0$.
解得$a＜3$.
(2)由根与系数的关系,得
$x_{1}+x_{2}= 2(a-1)$,$x_{1}x_{2}= a^{2}-a-2$.
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 16$,
即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}= 16$,
所以$[2(a-1)]^{2}-3(a^{2}-a-2)= 16$.
整理,得$a^{2}-5a-6= 0$.
解得$a_{1}= -1$,$a_{2}= 6$.
又因为$a＜3$,所以$a的值为-1$.
易错提醒 利用根与系数的关系求一元二次方程中字母系数的取值时,必须注意两个隐含的限制条件：一是二次项系数不等于$0$；二是判别式$\Delta \geqslant 0$；两者缺一不可.本题容易忽略“$\Delta ＞0$”这一限制条件而出现$a的值为-1或6$的错误.

答案：
(1)由题意，得
$\Delta =[-2(a-1)]^{2}-4(a^{2}-a-2)＞0$
$4(a-1)^{2}-4(a^{2}-a-2)＞0$
$4(a^{2}-2a+1)-4a^{2}+4a+8＞0$
$4a^{2}-8a+4-4a^{2}+4a+8＞0$
$-4a+12＞0$
$-4a＞-12$
解得$a＜3$
(2)由根与系数的关系，得
$x_{1}+x_{2}=2(a-1)$，$x_{1}x_{2}=a^{2}-a-2$
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$
所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$
$[2(a-1)]^{2}-3(a^{2}-a-2)=16$
$4(a^{2}-2a+1)-3a^{2}+3a+6=16$
$4a^{2}-8a+4-3a^{2}+3a+6=16$
$a^{2}-5a+10=16$
$a^{2}-5a-6=0$
$(a-6)(a+1)=0$
解得$a_{1}=6$，$a_{2}=-1$
又因为$a＜3$，所以$a=-1$
综上，
(1)$a$的取值范围是$a＜3$；
(2)$a$的值为$-1$

1. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-3x-2= 0的两个实数根分别为x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}$的值为( ).

A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-5$

答案： B

2. 关于$x的一元二次方程x^{2}+bx+c= 0的两根是2和3$,则$b$,$c$的值分别为( ).

A.$5$,$6$
B.$-5$,$-6$
C.$5$,$-6$
D.$-5$,$6$

答案： D

3. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-6x+k+1= 0的两个实数根为x_{1}$,$x_{2}$,且满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 24$,求$k$的值.

答案： 解：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=k+1$.因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=24$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=24$，所以$6^{2}-2(k+1)=24$.解得$k=5$.

1. 设$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程x^{2}-2x-3= 0$的两个实数根,则$x_{1}+x_{2}$的值为( ).

A.$-2$
B.$-3$
C.$2$
D.$3$

答案： C

2. 若一元二次方程$x^{2}-7x+5= 0的两个实数根分别为a$,$b$,则一次函数$y= abx+a+b$的图象一定不经过( ).

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D

3. (2022湖南益阳中考)若$x= -1是一元二次方程x^{2}+x+m= 0$的一个根,则此方程的另一个根是( ).

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： B 提示：设方程的另一个根为$\alpha$，由根与系数的关系，得$-1+\alpha=-1$，即$\alpha=0$.

4. (2022黑龙江绥化中考)设$x_{1}与x_{2}为一元二次方程\dfrac{1}{2}x^{2}+3x+2= 0$的两个实数根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值为______.

答案： 20 提示：由已知，得$x_{1}+x_{2}=-6$，$x_{1}x_{2}=4$.所以$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=(-6)^{2}-4×4=36-16=20$.