《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

2. 如图14,抛物线$y= -x^2+bx+c$经过点B(0,3)和点A(3,0)。

(1)求抛物线和直线AB所对应的函数的表达式。
(2)P是第一象限内抛物线上的点,连接PA,PB,求四边形OAPB面积的最大值以及此时点P的坐标。

答案：
2.解:
(1)把$B(0,3)$,$A(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$,得$\begin{cases} c=3,\\ -9+3b+c=0.\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} b=2,\\ c=3.\\ \end{cases}$$\therefore$抛物线所对应的函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$.设直线$AB$所对应的函数的表达式为$y=kx+m$,把$B(0,3)$,$A(3,0)$代入,得$\begin{cases} m=3,\\ 3k+m=0.\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\ m=3.\\ \end{cases}$$\therefore$直线$AB$所对应的函数的表达式为$y=-x+3$.
(2)如图51,过点$P$作$PN \perp OA$于点$N$,交直线$AB$于点$M$,过点$B$作$BC \perp PM$于点$C$,则$BC=ON$.设$P(a,-a^{2}+2a+3)$,$M(a,-a+3)$.又点$P$,$M$在第一象限,且点$P$在抛物线上,$\therefore 0 ＜ a ＜ 3$.$\therefore PM=-a^{2}+2a+3-(-a+3)=-a^{2}+3a$.$\because A(3,0)$,$\therefore OA=3$.$\therefore S_{四边形OAPB}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle OAB}=S_{\triangle PAM}+S_{\triangle PBM}+S_{\triangle OAB}=\dfrac{1}{2}PM\cdot NA+\dfrac{1}{2}PM\cdot BC+\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{1}{2}PM\cdot OA+\dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{2}(-a^{2}+3a)\cdot 3+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{3}{2}\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{63}{8}$.$\therefore$当$a=\dfrac{3}{2}$时,$S_{四边形OAPB}$取得最大值,最大值为$\dfrac{63}{8}$.此时$-a^{2}+2a+3=\dfrac{15}{4}$.$\therefore$点$P$的坐标为$\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4}\right)$.