《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例2 如图5,点$A$,$B$,$C$,$E在\odot O$上,$E是\overset{\frown}{BC}$的中点,$AE$,$BC相交于点D$.

求证：$BE^{2} = AE \cdot DE$.

答案： 证明：
由于$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
根据圆的性质，得$\overset{\frown}{BE} = \overset{\frown}{CE}$，
所以，$\angle BAE=\angle EBC$（等弧所对的圆周角相等）。
由于$\angle BEA=\angle BEA$（公共角），
所以$\triangle BEA \sim \triangle DEB$（AA相似）。
根据相似三角形的性质，有$\frac{AE}{BE} = \frac{BE}{DE}$。
交叉相乘，得到$BE^{2} = AE \cdot DE$。

1. 下列各角属于圆周角的是( ).

答案： A

2. 如图6,$BC是\odot O$的直径,$AB是\odot O$的弦. 若$\angle AOC = 60^{\circ}$,则$\angle OAB$的度数是( ).

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$


D.$35^{\circ}$

答案： C　提示:由圆周角∠B和圆心角∠AOC所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$,得∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°.又OA=OB,故∠OAB=∠B=30°.

3. 如图7,在由边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的$\odot O的圆心O$在格点上,则$\angle AED$的正切值为______.

答案： $\frac{1}{2}$　提示:连接AB.由圆周角∠AED和圆周角∠ABD所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$,得∠AED=∠ABD=∠ABC.故tan∠AED=tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$.

4. 如图8,已知$A$,$B$,$C$,$D是\odot O$上的四个点,$AB = BC$,$BD交AC于点E$,连接$CD$,$AD$. 求证：$DB平分\angle ADC$.
]

答案： 证明:
∵　AB=BC,
∴　$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{BC}$.
∴　∠ADB=∠BDC.
∴　DB平分∠ADC.

1. 如图9,点$A$,$B$,$C$,$D都在\odot O$上,$AC$,$BD相交于点E$,则下列各角与$\angle ABD$的度数相等的是( ).

A.$\angle ACD$
B.$\angle ADB$
C.$\angle AED$
D.$\angle ACB$

答案： A

2. 如图10,点$A$,$B$,$C$,$D$,$E在\odot O$上,$AB = CD$,$\angle AOB = 42^{\circ}$,则$\angle CED$的度数是( ).

A.$48^{\circ}$
B.$24^{\circ}$
C.$22^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案： D

3. (2023山东枣庄中考)如图11,在$\odot O$中,弦$AB$,$CD相交于点P$. 若$\angle A = 48^{\circ}$,$\angle APD = 80^{\circ}$,则$\angle B$的度数为( ).

A.$32^{\circ}$
B.$42^{\circ}$
C.$52^{\circ}$
D.$62^{\circ}$

答案： A