《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 已知某种礼炮的升空高度$h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系是h = -(t - 4)^{2} + 20$。若该礼炮在升空到最高处时引爆,则从发射到引爆所需要的时间为( )。

A.$3s$
B.$4s$
C.$5s$
D.$6s$

答案： B

2. 某中心广场有呈抛物线形的音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为$3m$,此时距喷水管的水平距离为$\frac{1}{2}m$。如图8,抛物线所对应的函数的表达式是( )。

A.$y = -(x - \frac{1}{2})^{2} + 3$
B.$y = -3(x + \frac{1}{2})^{2} + 3$
C.$y = -12(x + \frac{1}{2})^{2} + 3$
D.$y = -12(x - \frac{1}{2})^{2} + 3$

答案： D

3. 如图9,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线是全等的,正常水位时,大孔水面宽度为$20m$,顶点距水面$6m$,小孔顶点距水面$4.5m$,当水位上涨至刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为( )。

A.$5m$
B.$5\sqrt{3}m$
C.$10m$
D.$10\sqrt{3}m$

答案： C　提示:以正常水位时的水平线为$x$轴,以大孔的对称轴为$y$轴,建立图53(见下页)所示的平面直角坐标系.由题意,得$M(0,6)$,$A(-10,0)$,$B(10,0)$.设大孔抛物线对应的函数表达式为$y=a(x + 10)(x - 10)$.将$M(0,6)$代入,得$-100a = 6$.解得$a=-\dfrac{3}{50}$.所以$y=-\dfrac{3}{50}(x + 10)(x - 10)=-\dfrac{3}{50}x^{2}+6$.令$y = 4.5$,则$-\dfrac{3}{50}x^{2}+6 = 4.5$.解得$x_1 = 5$,$x_2 = -5$.此时大孔水面宽度$EF = 5-(-5)=10(m)$.

4. 在运动员打羽毛球的过程中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2} + bx + c$的一部分(如图10),其中击球点$B离地面点O的距离是1m$,球落地点$A到点O的距离是4m$,则这条抛物线对应的函数表达式是______。

答案： $y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}x + 1$　提示:将点$A(4,0)$,$B(0,1)$的坐标代入$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+bx + c$,解得$b=\dfrac{3}{4}$,$c = 1$.所以$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}x + 1$.

5. (2023山东滨州中考)某广场要建一个图11所示的圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为$1m$处达到最高,高度为$3m$,水柱落地处与池中心的水平距离也为$3m$,那么水管的设计高度应为______m。

答案： $\dfrac{9}{4}$　提示:如图54所示建立平面直角坐标系，由题意可设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x - 1)^{2}+3$.因为该抛物线过点$(3,0)$,所以$a(3 - 1)^{2}+3 = 0$.解得$a=-\dfrac{3}{4}$.所以$y=-\dfrac{3}{4}(x - 1)^{2}+3$.当$x = 0$时,$y=\dfrac{9}{4}$.所以水管的设计高度应为$\dfrac{9}{4}m$.

6. 如图12,公园里有一座拱形桥,桥拱呈抛物线形,水面宽度$AB = 10m$,桥拱最高点$C到水面的距离为6m$。
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线所对应的函数的表达式。
(2)现有一艘游船,高度是$4.5m$,宽度是$4m$,为了保证安全通过,船顶距离桥拱顶部至少$0.5m$。请通过计算说明这艘游船能否安全通过这座桥。

答案： 解:
(1)建立图55所示的平面直角坐标系.由题意,得$C(0,6)$,$B(5,0)$.设抛物线所对应的函数的表达式为$y=ax^{2}+c$.将$C(0,6)$,$B(5,0)$的坐标代入,得$\begin{cases}c = 6\\25a + c = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-\dfrac{6}{25}\\c = 6\end{cases}$.故抛物线所对应的函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{25}x^{2}+6$.　
(2)设游船的中心沿着桥拱的中心进入,则其最右侧点的横坐标为2.当$x = 2$时,$y=-\dfrac{6}{25}×2^{2}+6 = 5.04$.因为$4.5＜5.04$,所以船的边沿可以安全通过.因为$6 - 4.5 = 1.5＞0.5$,所以船的顶部可以安全通过.故这艘游船能安全通过这座桥.