《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

3. 若tanα= 0.4727,则α≈____(精确到0.1°)。

答案： 25.3°

4. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,tanA= 2,BC= 8,则AC的长为____。

答案： 4

5. 如图5,小亮在太阳光线与地面成35°角时,测得树AB在地面上的影长BC= 18m,则树高AB约为____m。(精确到0.1m,用计算器计算)

答案： 12.6

6. 计算：

$\frac{tan30°sin60°+sin45°cos45°}{tan45°sin30°-cos^{2}30°}$。

答案： 解:原式=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{1×\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}}=-4$.

7. 如图6,在5×5的正方形网格中,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上,则tanA的值为____。

答案： $\frac{1}{3}$ 提示:如图21,取格点D,连接BD,易得BD⊥AC.设网格中小正方形边长为1,则BD=$\sqrt{2}$,AD=$3\sqrt{2}$.故tanA=$\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$.

8. 理解与运用
【阅读理解】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现。数学兴趣小组在计算tan15°时,采用了以下方法：构建Rt△ACB(如图7),使∠C= 90°,∠ABC= 30°,BC= $\sqrt{3}$,AB= 2,然后延长CB到点D,使BD= AB,连接AD,可得到∠D= 15°。所以tan15°= $\frac{AC}{CD}= \frac{1}{2+\sqrt{3}}= \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= 2-\sqrt{3}$。

【类比运用】类比数学兴趣小组的方法,请你计算tan22.5°的值。

答案： 解:构建图形如图22.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,则∠D=∠BAD=22.5°.设AC=BC=1,则AB=BD=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2}$.
∴ CD=BC+BD=1+$\sqrt{2}$.在Rt△ADC中,tanD=tan22.5°=$\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$.

9. 如图8,在□ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且ED= BF。连接AF,CE,AC,EF,且AC与EF相交于点O。
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形。
(2)已知AC平分∠FAE,tan∠DAC= $\frac{3}{4}$,AC= 8,求四边形AFCE的面积。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC,AE//FC.又ED=BF,
∴ AD - ED=BC - BF,即AE=FC.
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
(2)解:
∵ AE//FC,
∴ ∠EAC=∠ACF.
∵ AC平分∠FAE,
∴ ∠EAC=∠FAC.
∴ ∠ACF=∠FAC.
∴ AF=FC.又四边形AFCE是平行四边形,
∴ 平行四边形AFCE是菱形.
∴ AO=$\frac{1}{2}$AC=4,AC⊥EF.在Rt△AOE中,AO=4,tan∠DAC=$\frac{EO}{AO}=\frac{3}{4}$,
∴ EO=3.
∴ S△AOE=$\frac{1}{2}AO·EO=\frac{1}{2}×4×3=6$.
∴ S四边形AFCE=4S△AOE=24.