《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

2. 如图 7,一艘轮船位于灯塔$P的南偏东37^{\circ}方向距离灯塔50$n mile 的$A$处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔$P的正东方向上的B$处,这时$B处与灯塔P$的距离为( )。


A.$50$n mile
B.$50\cos37^{\circ}$n mile
C.$50\sin37^{\circ}$n mile
D.$50\tan37^{\circ}$n mile

答案： C

3. 如图 8,一个小球由坡底沿着坡度为$1:2的坡面前进了10$m,此时小球在竖直方向上上升了______m。

答案： $2\sqrt{5}$

4. (2022 湖南邵阳中考)如图 9,一艘轮船从点$A处以30$km/h 的速度向正东方向航行,在$A处测得灯塔C在北偏东60^{\circ}$方向上；继续向正东方向航行$1$h 到达$B$处,这时测得灯塔$C在北偏东45^{\circ}$方向上。已知在灯塔$C的四周40$km 内有暗礁,问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由。(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)

答案： 解:安全.理由:过点C 作$CD\perp AB$于点D.由题意,得$\angle CAD=30^{\circ}$,$\angle CBD=45^{\circ}$,$AB=30×1=30$(km).在$Rt\triangle CBD$中,设$CD=x$km,则$BD=x$km.故$AD=(x + 30)$km.在$Rt\triangle ACD$中,$\tan\angle CAD=\tan30^{\circ}=\frac{CD}{AD}$,故$\frac{x}{x + 30}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.解得$x\approx40.98$(km).因为$40.98＞40$,所以这艘轮船继续向正东方向航行是安全的.

1. 如图 10,河堤横断面迎水坡$AB的坡度是1:1.5$,坡高$BC = 4$m,则迎水坡宽度$AC$的长为( )。

A.$3\sqrt{2}$m


B.$6$m
C.$4\sqrt{3}$m
D.$12$m

答案： B

2. 如图 11,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距$200$m 的$P$,$Q两点分别测定对岸一棵树T$的位置,树$T在点P$的正北方向,且树$T在点Q的北偏西70^{\circ}$方向,则河宽$PT$的长可以表示为( )。

A.$200\tan70^{\circ}$m
B.$\frac{200}{\tan70^{\circ}}$m
C.$200\sin70^{\circ}$m
D.$\frac{200}{\sin70^{\circ}}$m

答案： B

3. 某商场为了方便顾客使用购物车,将自动扶梯由坡角为$30^{\circ}的坡面改为坡度为1:3$的坡面。如图 12,$BD$表示水平面,$AD$表示自动扶梯的铅直高度,改造后自动扶梯的坡面$AC = 6\sqrt{10}$m,则$AD= $______m,$CD= $______m；改造后自动扶梯水平宽度增加部分$BC\approx$______m。(结果精确到$1$m；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$)

答案： 6；18；8

4. (2022 四川巴中中考)如图 13,一艘轮船位于灯塔$P南偏东60^{\circ}方向距离灯塔30$n mile 的$A$处,它沿北偏东$30^{\circ}$方向航行一段时间后,到达位于灯塔$P的北偏东67^{\circ}方向上的B$处,此时轮船与灯塔$P$之间的距离约为______n mile。(参考数据：$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$)

答案： 50　提示:由题意,易得$\angle CAP=\angle EPA=60^{\circ}$,$\angle CAB=30^{\circ}$,$\angle BPD=67^{\circ}$,$PA=30$n mile.则$\angle PAB=90^{\circ}$,$\angle APB=180^{\circ}-67^{\circ}-60^{\circ}=53^{\circ}$.故$\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-53^{\circ}=37^{\circ}$.在$Rt\triangle PAB$中,$\sin\angle B=\sin37^{\circ}=\frac{AP}{PB}=\frac{30}{PB}\approx0.6$,解得$PB\approx50$n mile.