《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $。
(1) 已知 $ a = 20\sqrt{3} $,$ b = 20 $,求 $ c $,$ \angle A $,$ \angle B $。
(2) 已知 $ b = 9 $,$ \angle B = 37^{\circ} $,求 $ a $,$ c $,$ \angle A $。
(结果精确到 $ 1 $；参考数据：$ \sin 37^{\circ} \approx 0.60 $,$ \cos 37^{\circ} \approx 0.80 $,$ \tan 37^{\circ} \approx 0.75 $)

答案： 5.解:
(1)$\because \angle C=90^{\circ },a=20\sqrt {3},b=20,\therefore c=\sqrt {a^{2}+b^{2}}=40,\tan A=\frac {a}{b}=\frac {20\sqrt {3}}{20}=\sqrt {3}.\therefore \angle A=60^{\circ }.\therefore \angle B=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$
(2)$\because \angle C=90^{\circ },b=9,\angle B=37^{\circ },\therefore \angle A=90^{\circ }-37^{\circ }=53^{\circ },a=\frac {b}{\tan B}=\frac {9}{\tan 37^{\circ }}\approx 12.\therefore c=\sqrt {a^{2}+b^{2}}\approx 15.$

6. 如图 7,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高,$ E $ 为边 $ AC $ 的中点,$ BC = 21 $,$ AD = 8 $,$ \sin B = \frac{4}{5} $。
(1) 求线段 $ DC $ 的长。
(2) 求 $ \tan \angle EDC $ 的值。

答案： 6.解:
(1)$\because AD$是$BC$边上的高,$\therefore \angle ADB=\angle ADC=90^{\circ }$.在$Rt\triangle ABD$中,$\because \sin B=\frac {AD}{AB}=\frac {4}{5},AD=8,\therefore AB=10.\therefore BD=\sqrt {AB^{2}-AD^{2}}=6$.又$BC=21,\therefore DC=BC-BD=15$.
(2)在$Rt\triangle ACD$中,$\because E$为斜边$AC$的中点,$\therefore ED=EC=\frac {1}{2}AC.\therefore \angle C=\angle EDC.\therefore \tan \angle EDC=\tan C=\frac {AD}{DC}=\frac {8}{15}.$

7. 如图 8,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 45^{\circ} $,$ \angle B = 60^{\circ} $,$ BC = 8 $。求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 7.解:过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$,则$\angle ADC=\angle BDC=90^{\circ }$.在$Rt\triangle BCD$中,$\because \angle B=60^{\circ },\therefore BD=BC\cdot \cos 60^{\circ }=8× \frac {1}{2}=4,CD=BC\cdot \sin 60^{\circ }=8× \frac {\sqrt {3}}{2}=4\sqrt {3}$.在$Rt\triangle ACD$中,$\because \angle A=45^{\circ },\therefore AD=CD=4\sqrt {3}.\therefore AB=AD+BD=4\sqrt {3}+4.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}\cdot AB\cdot CD=\frac {1}{2}× (4\sqrt {3}+4)× 4\sqrt {3}=24+8\sqrt {3}.$

8. 如图 9,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ BC $ 边上的点,$ AB = 5 $,$ BD = 1 $,$ \tan B = \frac{3}{4} $。
(1) 求 $ AD $ 的长。
(2) 求 $ \sin \alpha $ 的值。

答案： 8.解:
(1)在$Rt\triangle ABC$中,$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {3}{4}$,则可设$AC=3x,BC=4x$.由勾股定理,得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=5^{2}$.解得$x_{1}=1,x_{2}=-1$(舍去).$\therefore AC=3,BC=4.\because BD=1,\therefore CD=BC-BD=4-1=3.\therefore AD=\sqrt {CD^{2}+AC^{2}}=3\sqrt {2}$.
(2)过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$.在$Rt\triangle BDE$中,$\tan B=\frac {DE}{BE}=\frac {3}{4}$,则可设$DE=3y,BE=4y$.由勾股定理,得$(3y)^{2}+(4y)^{2}=1^{2}$.解得$y_{1}=\frac {1}{5},y_{2}=-\frac {1}{5}$（舍去）.$\therefore DE=\frac {3}{5}.\therefore $在$Rt\triangle ADE$中,$\sin \alpha =\frac {DE}{AD}=\frac {\frac {3}{5}}{3\sqrt {2}}=\frac {\sqrt {2}}{10}.$