《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

11. 蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度的比是黄金分割比,已知蝴蝶展开的双翅的长度是7 cm,则蝴蝶身体的长度约为______ cm。(结果精确到0.1,$\sqrt{5}\approx2.236$)

答案： 4,3

12. 我们利用相机的“微距模式”拍摄,可以得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图像。图7是一个微距拍摄成像示意图,拍摄60 mm远的物体$AB$,其在底片上的像$A'B'$的高是36 mm,焦距是90 mm,则物体$AB$的高是______ mm。

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答案： 24

13. 如图8,在平面直角坐标系中,已知点$A(2,4)$,$B(4,1)$,以原点$O$为位似中心,将$\triangle OAB缩小为原来的\frac{1}{2}$,则点$B$的对应点的坐标是______。
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答案： $\left(2,\frac{1}{2}\right)$或$\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$

14. 如图9,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB于点D$,$BD = 2$,$AD = 4$,则$CD$的长为______。

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答案： $2\sqrt{2}$ 提示：由$\angle ACB=90°$，得$\angle A+\angle B=90°$.由$CD\perp AB$，得$\angle BDC=\angle CDA=90°$，$\angle BCD+\angle B=90°$.因此$\angle A=\angle BCD$.故$\triangle BDC\backsim\triangle CDA$.从而得$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{CD}{4}=\frac{2}{CD}$.解得$CD=2\sqrt{2}$(负值已舍去).

15. (14分)如图10,已知$AD$,$BE分别是钝角三角形ABC的边BC$,$AC$上的高。
求证：$AD\cdot BC = BE\cdot AC$。

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答案： 解：$\because$ $AD$，$BE$分别是钝角三角形$ABC$的边$BC$，$AC$上的高，$\therefore$ $\angle D=\angle E=90°$.又$\angle ACD=\angle BCE$，$\therefore$ $\triangle ACD\backsim\triangle BCE$.$\therefore$ $\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$.$\therefore$ $AD\cdot BC=BE\cdot AC$.

16. (14分)如图11,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC各顶点的坐标分别为A(2,-4)$,$B(3,-2)$,$C(6,-3)$。
(1) 画出$\triangle ABC关于x轴对称的图形\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 以点$M(1,2)$为位似中心,将$\triangle A_1B_1C_1$放大为原图形的2倍得到$\triangle A_2B_2C_2$,在第一象限内画出$\triangle A_2B_2C_2$。

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答案：
解：
(1)如图18，$\triangle A_1B_1C_1$为所求.
(2)如图18，$\triangle A_2B_2C_2$为所求.

17. (16分)综合与实践

【问题思考】(1)数学课上,老师出示了这样一个问题：如图12,在四边形$ABCD$中,$\angle ADB = \angle ACB$,对角线$AC$,$BD相交于点O$。求证：$\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$。
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【实践探究】(2)为了证明$\triangle OAB\backsim\triangle ODC$,小明运用思维导图使解题思路显性化。请帮助小明完成解题思路的思维导图。

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【问题解决】(3)智慧小组在题中增加条件“延长$AD$,$BC相交于点E$”,如图13。求证：$\frac{BE}{AB} = \frac{DE}{DC}$。

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答案： （1）证明：$\because$ $\angle ADB=\angle ACB$，$\angle AOD=\angle BOC$，$\therefore$ $\triangle AOD\backsim\triangle BOC$.$\therefore$ $\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$.（2）$\angle AOB=\angle DOC$ 对应边成比例且夹角相等 $\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$ （3）证明：由（1）得$\triangle AOD\backsim\triangle BOC$.$\therefore$ $\angle DAO=\angle CBO$.又$\angle E=\angle E$，$\therefore$ $\triangle ACE\backsim\triangle BDE$.$\therefore$ $\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{AE}$.$\therefore$ $\frac{DE}{BE}=\frac{CE}{AE}$.又$\angle E=\angle E$，$\therefore$ $\triangle DEC\backsim\triangle BEA$.$\therefore$ $\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{DC}$.$\therefore$ $\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{DC}$.