《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 1
如图 2,在 $ \triangle ABC $中, $ BC ＞ AC $,点 $ D $在 $ BC $边上,且 $ DC = AC $, $ \angle ACB $的平分线 $ CF $交 $ AD $于点 $ F $, $ E $是 $ AB $的中点,连接 $ EF $,四边形 $ BDFE $的面积为 6。求 $ \triangle ABD $的面积。

答案：
∵DC=AC，
∴△ADC为等腰三角形。
∵CF平分∠ACB，即CF平分∠ACD，
∴CF为△ADC底边AD上的中线（等腰三角形三线合一），
∴F为AD中点。
∵E是AB中点，F是AD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//BD，EF=1/2 BD。
∴△AEF∽△ABD，相似比为1:2，面积比为1:4。
设S△ABD=S，则S△AEF=1/4 S。
∵S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE，
∴S=1/4 S + 6，
解得3/4 S=6，S=8。
△ABD的面积为8。

1. 如图 3,在 $ \triangle ABC $中, $ BE $平分 $ \angle ABC $,交 $ AC $于点 $ E $,过点 $ E $作 $ DE // BC $,交 $ AB $于点 $ D $。
(1) 求证： $ AE \cdot BC = BD \cdot AC $。
(2) 已知 $ S_{\triangle ADE} = 3 $, $ S_{\triangle BDE} = 2 $, $ DE = 6 $,求 $ BC $的长。

答案： （1）证明：
∵ BE 平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE.
∵ DE//BC，
∴ ∠DEB = ∠CBE.
∴ ∠ABE = ∠DEB.
∴ BD = DE.
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC.
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即 $AE\cdot BC = BD\cdot AC$.
（2）解：由题意，得$\frac{AD}{BD}=\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle BDE}}=\frac{3}{2}$.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$.
∵ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}$.
∴ BC = 10.