《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 反比例函数：一般地,如果两个变量 $ y $ 与 $ x $ 的关系可以表示成 ______($ k $ 为常数,$ k \neq 0 $)的形式,那么称 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数,其中 $ x $ 是自变量,常数 $ k ( k \neq 0 ) $ 称为反比例函数的 ______。

答案： $y=\dfrac{k}{x}$ 比例系数

2. 反比例函数的三种表示形式：$ y = \frac { k } { x } $,$ x y = k $ 和 $ y = k x ^ { - 1 } ( k \neq 0 ) $。

答案： 上述三种形式均正确（注：题目未明确设问，此为对三种表示形式的规范说明）

3. 确定反比例函数的表达式：在反比例函数 $ y = \frac { k } { x } $($ k $ 为常数,$ k \neq 0 $)中,只有一个待定系数 $ k $,所以用待定系数法求函数表达式时,只需要已知变量 $ y $ 和 $ x $ 的 ______ 组对应值,即可得出关于 $ k $ 的方程,求出 $ k $ 的值,从而确定该反比例函数的表达式。

答案： 一

1. 下列函数中,$ y $ 是 $ x $ 的反比例函数的为( )。

A.$ y = \frac { 5 } { x } $
B.$ y = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $
C.$ y = \frac { x } { 2 } $
D.$ y = - \frac { 1 } { x + 1 } $

答案： A

2. 在反比例函数 $ y = \frac { 10 } { x } $ 中,比例系数是 ______。

答案： 10

3. 已知一个矩形的面积为 $ 40 m ^ { 2 } $,它的一边长为 $ x m $,则另一边长 $ y ( m ) $ 与 $ x ( m ) $ 之间的函数表达式是 ______,自变量 $ x $ 的取值范围是 ______。

答案： $y=\dfrac{40}{x}$ $x＞0$

- 例 1 已知下列函数,指出哪些是变量 $ y $ 关于 $ x $ 的反比例函数；是反比例函数的,写出其比例系数。
1. $ y = - \frac { 3 } { x } $；
2. $ y = 4 x ^ { - 1 } $；
3. $ y = \frac { x } { 7 } $；
4. $ x y = 8 $；
5. $ y = 3 x - 5 $；
6. $ y = \frac { 2 } { 3 x } $；
7. $ y = \frac { 4 } { x } + 1 $。

答案： 1. $y = -\frac{3}{x}$：
是反比例函数，比例系数为$-3$。
2. $y = 4x^{-1}$：
因为$x^{-1}=\frac{1}{x}$，所以$y = \frac{4}{x}$，是反比例函数，比例系数为$4$。
3. $y = \frac{x}{7}$：
不是反比例函数。
4. $xy = 8$，即$y = \frac{8}{x}$：
是反比例函数，比例系数为$8$。
5. $y = 3x - 5$：
不是反比例函数。
6. $y = \frac{2}{3x}$：
可以写成$y=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，是反比例函数，比例系数为$\frac{2}{3}$。
7. $y = \frac{4}{x} + 1$：
不是反比例函数。