《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

二次函数
- 二次函数的定义：一般地,把形如 $ y = $______($ a $,$ b $,$ c $ 是常数,$ a \neq 0 $)的式子叫作二次函数,其中 $ x $ 是______,$ a $,$ b $,$ c $ 分别是二次项系数、一次项系数和______项。
- 二次函数的图象：二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)可以通过配方的方法变形为 $ y = a(x + $______$)^2 + $______；它的图象是以(______,______)为顶点,以直线 $ x = $______为对称轴的抛物线。
- 二次函数的性质：
$ |a| $ 越大,抛物线开口越______,图象越靠近对称轴；$ |a| $ 越小,抛物线开口越______,图象越远离对称轴。
$ a ＞ 0 $ 时,抛物线开口向______,图象有最低点,这点是抛物线的______；当 $ x $______$ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小；当 $ x $______$ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $______$ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $(最小)= ______。
$ a ＜ 0 $ 时,抛物线开口向______,图象有最高点,这点是抛物线的______；当 $ x $______$ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $______$ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小；当 $ x $______$ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $(最大)= ______。
对称轴的位置：当 $ b = 0 $ 时,对称轴为______；当 $ ab ＞ 0 $ 时,对称轴在 $ y $ 轴的______侧；当 $ ab ＜ 0 $ 时,对称轴在 $ y $ 轴的______侧。
- 二次函数与一元二次方程的关系：
若 $ b^2 - 4ac ＞ 0 $,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)的图象与 $ x $ 轴有两个交点,这两个点为 $ A(x_1, 0) $,$ B(x_2, 0) $,此时 $ x_1 $,$ x_2 $ 是一元二次方程______的根。
若 $ b^2 - 4ac = 0 $,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)的图象与 $ x $ 轴有一个交点(______,0),此时一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $($ a \neq 0 $)有两个______的实数根,即 $ x_1 = x_2 = $______。
若 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)的图象与 $ x $ 轴______交点,此时一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $($ a \neq 0 $)______实数根。

答案： $ax^{2}+bx+c$ 自变量 常数 $\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ $-\frac{b}{2a}$ 小 大 上 顶点 $＜$ $＞$ $=$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ 下 顶点 $＜$ $＞$ $=$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ $y$轴 左 右 $ax^{2}+bx+c=0$ $-\frac{b}{2a}$ 相等 $-\frac{b}{2a}$ 没有 没有