《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 如图 11,正方形$ABCD的四个顶点都在\odot O$上,$M为\overset{\frown}{CD}$的中点,连接$AM$,$BM$。
求证：$AM = BM$。

答案： 证明:$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore AD=BC$.$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.$\because M$为$\overset{\frown}{CD}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{MD}=\overset{\frown}{MC}$.$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.$\therefore AM=BM$.

6. (教材第 48 页例 1 变式)如图 12,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$,$\angle BOC = 120^{\circ}$。
求证：$\triangle ABC$是等边三角形。

答案： 证明:$\because \angle BOC=120^{\circ}$,$\therefore \angle AOB+\angle AOC=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$.$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$\therefore \angle AOB=\angle AOC=120^{\circ}$.$\therefore \angle AOB=\angle AOC=\angle BOC$.$\therefore AB=AC=BC$.$\therefore \triangle ABC$是等边三角形.

7. 如图 13,在$\triangle ABO$中,$\angle A = \angle B$,$\odot O与OA交于点C$,与$OB交于点D$,与$AB交于点E$,$F$。求证：$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{DF}$。

答案： 证明:连接$OE,OF$,则$OE=OF$.$\therefore \angle OEF=\angle OFE$.又$\angle A=\angle B$,$\angle AOE=\angle OEF-\angle A$,$\angle BOF=\angle OFE-\angle B$,$\therefore \angle AOE=\angle BOF$.$\therefore \overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$.

8. 如图 14,$A$,$B$,$C$,$D是\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$,连接$AB$,$AD$,$BD$,延长$AB到点E$,使$BE = AB$,连接$EC$,$F是EC$的中点,连接$BF$。求证：$BF = \frac{1}{2}BD$。

答案： 证明:连接$AC$,$\because AB=BE$,$\therefore$ 点$B$为$AE$的中点.又$F$是$EC$的中点,$\therefore BF$为$\triangle EAC$的中位线.$\therefore BF=\frac{1}{2}AC$.$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$,即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$.$\therefore BD=AC$.$\therefore BF=\frac{1}{2}BD$.