《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例1
如图4,已知一次函数y= 2x-6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,二次函数$y= ax^2+bx+c$的图象经过A,C两点,对称轴为直线l,顶点为D,该抛物线与x轴的另一个交点为B(1,0)。

(1)求二次函数的表达式,并写出图象顶点D的坐标和对称轴。
(2)在y轴上是否存在点P,使△PBD的周长最小? 若存在,则求出点P的坐标及△PBD周长的最小值；若不存在,则说明理由。
(3)点H在抛物线上,位于线段AC的上方,过点H作y轴的平行线,交AC于点K。求线段HK的最大值及此时点H的坐标。

答案：
(1)
对于一次函数$y = 2x - 6$，
令$y=0$，得$2x - 6 = 0$，解得$x = 3$，所以$A(3,0)$；
令$x = 0$，得$y=-6$，所以$C(0,-6)$。
已知抛物线过$A(3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,-6)$，设二次函数表达式为$y=a(x - 1)(x - 3)$，
把$C(0,-6)$代入得：$-6=a×(-1)×(-3)$，解得$a=-2$。
所以二次函数表达式为$y=-2(x - 1)(x - 3)=-2(x^{2}-4x + 3)=-2x^{2}+8x - 6$。
$y=-2x^{2}+8x - 6=-2(x - 2)^{2}+2$，
所以顶点$D$的坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x = 2$。
(2)
存在。
作点$D$关于$y$轴的对称点$D'(-2,2)$，连接$BD'$与$y$轴交于点$P$，此时$\triangle PBD$的周长最小。
设直线$BD'$的表达式为$y=kx + b$，把$B(1,0)$，$D'(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}k + b = 0\\-2k + b = 2\end{cases}$
两式相减得：$k+2k=0 - 2$，$3k=-2$，$k=-\frac{2}{3}$，
把$k = -\frac{2}{3}$代入$k + b = 0$得：$b=\frac{2}{3}$。
所以直线$BD'$的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$，
令$x = 0$，得$y=\frac{2}{3}$，所以$P(0,\frac{2}{3})$。
$BD=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(2 - 0)^{2}}=\sqrt{5}$，$BD'=\sqrt{(-2 - 1)^{2}+(2 - 0)^{2}}=\sqrt{13}$，
$\triangle PBD$周长的最小值为$\sqrt{13}+\sqrt{5}$。
(3)
设$H(x,-2x^{2}+8x - 6)$，因为$HK// y$轴交$AC$于点$K$，则$K(x,2x - 6)$。
$HK=(-2x^{2}+8x - 6)-(2x - 6)=-2x^{2}+6x=-2(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$HK$有最大值$\frac{9}{2}$，
此时$y=-2×(\frac{3}{2})^{2}+8×\frac{3}{2}-6=-2×\frac{9}{4}+12 - 6=-\frac{9}{2}+6=\frac{3}{2}$，
所以$H(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。