《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例【动手操作】
(1) 在平面直角坐标系中(网格单位长度为 1)作出二次函数 $ y = -2x^2 $ 的图象。
【观察思考】
(2) 当 $ x ＜ 0 $ 时,随着 $ x $ 的值的增大,$ y $ 的值如何变化？当 $ x ＞ 0 $ 时呢？
(3) $ y $ 有最大值还是最小值？当 $ x $ 取何值时,$ y $ 取得这个最值？最值是多少？
【拓展探究】
(4) 函数 $ y = 2x^2 $ 的图象开口向______,对称轴是______,顶点坐标是______；当 $ x = $______时,函数有最______值,其值是______；函数 $ y = -2x^2 $ 的图象与函数 $ y = 2x^2 $ 的图象关于______对称。
思路点拨：先按列表、描点、连线的步骤画出函数的图象,然后结合图象解答有关性质的问题。
解：

(1) 因为 $ y = -2x^2 $ 的图象关于 $ y $ 轴对称,因此列表时,自变量 $ x $ 可以从原点的横坐标 0 开始取值。
| $ x $ | 0 | 1 | $ \frac{3}{2} $ | 2 |... |
| $ y = -2x^2 $ | 0 | -2 | $ -\frac{9}{2} $ | -8 |... |
描点和连线：先画出图象在 $ y $ 轴右边的部分,再利用对称性,画出图象在 $ y $ 轴左边的部分,这样就得到了 $ y = -2x^2 $ 的图象,如图 1。

(2) 由 (1) 中图象可知,当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 的值随着 $ x $ 的值的增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 的值随着 $ x $ 的值的增大而减小。
(3) 由图象开口向下可知,函数有最大值。当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值,最大值为 0。
(4) 如图 1,用同样的方法在同一坐标系中画出函数 $ y = 2x^2 $ 的图象。从图 1 可以看出,函数 $ y = 2x^2 $ 的图象开口向上,对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (0,0) $；当 $ x = 0 $ 时,函数有最小值,其值是 0；函数 $ y = -2x^2 $ 的图象与函数 $ y = 2x^2 $ 的图象关于 $ x $ 轴对称。
易错提醒：画图连线时要用光滑的曲线,不能出现折线；抛物线应向开口方向无限延伸,不应有端点。例如,图 2 和图 3 中的图象都是错误画法。

答案：
(1) 图像已描述（如题目中所示，通过列表、描点、连线作出 $y = -2x^2$ 的图象）。
(2) 当 $x ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
(3) $y$ 有最大值，当 $x = 0$ 时，$y$ 取得最大值，最大值为 0。
(4) 函数 $y = 2x^2$ 的图象开口向上，对称轴是 $y$ 轴，顶点坐标是 $(0,0)$；当 $x = 0$ 时，函数有最小值，其值是 0；函数 $y = -2x^2$ 的图象与函数 $y = 2x^2$ 的图象关于 $x$ 轴对称。

1. 关于函数 $ y = 9x^2 $,下列说法错误的是( )。

A.图象关于 $ y $ 轴对称
B.图象开口向上
C.$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.当 $ x = 0 $ 时,它有最小值,为 0

答案： C

2. 二次函数 $ y = -3x^2 $ 图象的顶点坐标是______,对称轴是______,它与二次函数 $ y = 3x^2 $ 的图象关于______对称。

答案： $(0,0)$　y轴　x轴

3. 填空并按要求画出二次函数 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 的图象。
(1) 列表：
| $ x $ |... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |... |
| $ y = \frac{1}{3}x^2 $ |... | | | | | | | |... |
(2) 在图 4 的平面直角坐标系中(网格的单位长度为 1),描点并连线。
(3) 函数图象的开口向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
(4) 当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______；当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______。

答案： 解:
(1)3 $\frac{4}{3}$　$\frac{1}{3}$　0　$\frac{1}{3}$　$\frac{4}{3}$　3　
(2)描点、连线如图34(见下页).
(3)上　y轴　$(0,0)$　
(4)增大　减小