《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 圆周角定理的推论 2
(1) 直径所对的圆周角是____角；
(2) $90^{\circ}$的圆周角所对的弦是____。

答案：
(1)直；
(2)直径

2. 圆内接四边形
(1) 定义：顺次连接圆上的四点所得的四边形,称为圆内接四边形。这个圆叫作这个四边形的____。
(2) 性质：圆内接四边形的对角____。

答案：
(1)外接圆；
(2)互补

1. 用直角三角尺检查半圆形的工件,下列工件中合格的是( )。

答案： C

2. 如图 1,$AB是\odot O$的直径,点$C在\odot O$上,连接$AC$,$BC$,若$\angle A = 30^{\circ}$,则$\angle B$的度数是( )。

A.$60^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： A

3. 如图 2,点$A$,$B$,$C$在半径为 3 的圆上,且$\angle A = 90^{\circ}$,则$BC$的长为____。

答案： 6　提示:根据“90°圆周角所对的弦是直径”，可知，BC为圆的直径，故BC的长为6.

4. (2022 甘肃武威中考)如图 3,$\odot O是四边形ABCD$的外接圆。已知$\angle B = 110^{\circ}$,$\angle A = 92^{\circ}$,那么$\angle D$的度数是____,$\angle C$的度数是____。

答案： 70°　88°

例 1
如图 4,已知在$\triangle ABC$中,$AB为\odot O$的直径,$BC$,$AC分别交\odot O于点D$,$E$,且$BD = DE$。
(1) 求证：$D是BC$的中点。
(2) 求证：$2CD^{2} = CE\cdot AC$。

答案：
(1) 连接AD。
∵AB为⊙O的直径，D在⊙O上，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊥BC。
∵BD=DE，
∴弧BD=弧DE（同圆中，等弦对等弧），
∴∠BAD=∠DAE（等弧所对的圆周角相等），即AD平分∠BAC。
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴BD=CD，即D是BC的中点。
(2) 由
(1)知D是BC中点，
∴BC=2CD。
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB（等边对等角）。
∵∠CDE是△BDE的外角，
∴∠CDE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE。
由
(1)知AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠BAD。
∵∠BAD和∠DEB都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BAD=∠DEB（同弧所对的圆周角相等）。
又∠DEB=∠DBE，
∴∠BAD=∠DBE，
∴∠CAB=2∠BAD=2∠DBE=∠CDE。
在△CDE和△CAB中，∠C=∠C，∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB（AA），
∴CD/CA=CE/CB（相似三角形对应边成比例），即CD·CB=CE·CA。
∵CB=2CD，
∴CD·2CD=CE·AC，即2CD²=CE·AC。