《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 如图 8,点 $A$ 是一个半径为 $300$ m 的圆形森林公园的中心,在公园附近有 $B$,$C$ 两个村庄.现要在 $B$,$C$ 两村间修一条长为 $1000$ m 的笔直公路将两村连通,测得 $\angle ABC = 45^{\circ}$,$\angle ACB = 30^{\circ}$.问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算说明.(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{3} \approx 1.73$)

答案： 解:过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，设 AH=x m.
∵ ∠ABC=45°，
∴ BH=AH=x m.
∵ ∠ACB=30°，
∴ CH=AH/tan30°=√3 x m.又 BH+CH=BC，BC=1000 m，
∴ x+√3 x=1000，解得 x≈366.
∵ 366＞300，
∴ BC 与⊙A 相离.
∴ 此公路不会穿过森林公园.

7. 如图 9,已知 $\angle APB = 30^{\circ}$,$OP = 3$ cm,$\odot O$ 的半径为 $1$ cm,圆心 $O$ 沿着 $BP$ 的方向在直线 $BP$ 上移动.
(1)当圆心 $O$ 移动的距离为 $1$ cm 时,判断 $\odot O$ 与直线 $PA$ 的位置关系.
(2)设圆心 $O$ 移动的距离是 $d$ cm,当 $\odot O$ 与直线 $PA$ 相交时,求 $d$ 的取值范围.

答案： 解:
(1)如图 74，当点 O 向左移动 1 cm 至点 O₁处时，PO₁=PO-O₁O=3-1=2(cm).过点 O₁作 O₁C⊥PA 于点 C.
∵ ∠APB=30°，
∴ O₁C=1/2 PO₁=1 cm.又⊙O 的半径为 1 cm，
∴ ⊙O 与直线 PA 相切.
(2)如图 74，当点 O 由点 O₁处继续向左移动时，PA 先与⊙O 相交，当移动到 O₂处时，⊙O 与直线 PA 相切.过点 O₂作 O₂D⊥PA 于点 D.在△O₁PC 和△O₂PD 中，{∠O₁PC=∠O₂PD，∠O₁CP=∠O₂DP，O₁C=O₂D，
∴ △O₁PC≌△O₂PD(AAS).
∴ O₂P=O₁P=2 cm.
∵ OP=3 cm，
∴ OO₂=OP+O₂P=3+2=5(cm).
∴ 当⊙O 与直线 PA 相交时，d 的取值范围为 1＜d＜5.

8. 已知在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 13$,$AC = 5$,$O$ 是 $AC$ 上的点,以 $O$ 为圆心、$OC$ 为半径作 $\odot O$.
(1)如图 10,当 $OC = 2.5$ 时,$\odot O$ 交 $AB$ 于点 $D$,求 $BD$ 的长.
(2)当 $OC = 2.4$ 时,$AB$ 与 $\odot O$ 有怎样的位置关系？证明你的结论.

答案： 解:
(1)连接 CD.(方法一)在 Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=5，
∴ BC=√(AB²-AC²)=12.
∵ OC=2.5=1/2 AC，
∴ AC 为⊙O 的直径.
∴ ∠ADC=90°.
∴ ∠ADC=∠C.又∠B=∠B，
∴ △BCD∽△BAC.
∴ BD/BC=BC/AB.
∴ BD=BC²/AB=12²/13=144/13. (方法二)同方法一，得∠ADC=90°.
∵ S△ABC=1/2 AB·CD=1/2 AC·BC，
∴ CD=AC·BC/AB=5×12/13=60/13.
∴ BD=√(BC²-CD²)=144/13.
(2)相切.证明:如图 75，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则∠AEO=∠ACB=90°.又∠A=∠A，∠AEO=∠ACB，
∴ △AOE∽△ABC.
∴ OE/BC=AO/AB.
∵ OC=2.4，
∴ AO=AC-OC=5-2.4=2.6.
∴ OE=AO·BC/AB=2.6×12/13=2.4.
∴ 点 O 到 AB 的距离 OE 等于半径 OC 的长.
∴ AB 与⊙O 相切.