《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 如图5,在四边形$ABCD$中,$AC平分\angle BAD$,$\angle ABC = \angle ACD$,$BM \perp AC于点M$,$CN \perp AD于点N$,且$BC = 12$,$BM = 8$,$CD = 15$.求$CN$的长.

答案： 解：
∵ AC 平分∠BAD，
∴ ∠BAC=∠CAD.又∠ABC=∠ACD，
∴ △ABC∽△ACD.又 BM⊥AC，CN⊥AD，
∴ $\frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$.
∵ BC=12，BM=8，CD=15，
∴ $\frac{CN}{8}=\frac{15}{12}$.
∴ CN=10.

6. 图6是装了液体的高脚杯的示意图,用去一部分液体后如图7,此时液面$AB$的宽度为______$\mathrm{cm}$.

答案： 3 提示：由题意，得高脚杯横截面的两个三角形（题图阴影部分）相似，且题目中两图液面的高度分别为7 cm，3.5 cm.所以$\frac{AB}{6}=\frac{3.5}{7}$，故 AB=3 cm.

7. 如图8,在$\triangle ABC$中,边$BC = 12\mathrm{cm}$,高$AD = 6\mathrm{cm}$,正方形$PQMN的一边在BC$上,其余两个顶点分别在$AB$,$AC$上,$PN与AD交于点I$.求这个正方形的边长.

答案： 解：设正方形的边长为 x cm，则 MN=ID=PN=x cm.在正方形 PQMN 中，PN//BC，
∴ AI⊥PN，△APN∽△ABC.
∴ $\frac{PN}{BC}=\frac{AI}{AD}$.
∵ BC=12 cm，AD=6 cm，
∴ $\frac{x}{12}=\frac{6-x}{6}$.解得 x=4.
∴ 这个正方形的边长为 4 cm.

8. 如图9,已知在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 6$,$CD是AB$边上的高,$DE \perp AC$,$DF \perp BC$,垂足分别为点$E$,$F$.
(1)求$\frac{DF}{DE}$的值.
(2)求四边形$DECF$的周长.

答案： 解：（1）
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°.又∠A+∠B=90°，
∴ ∠ACD=∠B.
∴ △ACD∽△CBD.又 DF⊥BC，DE⊥AC，
∴ $\frac{DF}{DE}=\frac{BC}{CA}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.（2）由$\frac{DF}{DE}=\frac{3}{4}$，可设 DF=3x，则 DE=4x.
∴ $S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4x=16x$，$S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}BC\cdot DF=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3x=9x$.又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}× 8× 6=24$，
∴ 16x+9x=24.解得$x=\frac{24}{25}$.
∵ ∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°，
∴ 四边形 DECF 是矩形.
∴ 四边形 DECF 的周长为$2(4x+3x)=14x=14× \frac{24}{25}=13\frac{11}{25}$.