《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 一元二次方程的解：
使一元二次方程左、右两边____的未知数的值叫作一元二次方程的解,也叫作一元二次方程的____。

答案： 相等 根

2. 直接开平方法：
利用平方根的意义解一元二次方程的方法叫作平方根的意义法,也称为直接开平方法。
(1) 若 $x^{2}= a(a\geqslant 0)$,则 $x$ 叫作 $a$ 的平方根,表示为 $x= $____。
(2) 方程 $x^{2}= a$ 有解的前提条件是____。

答案：
(1)$\pm \sqrt{a}$
(2)$a\geq 0$

1. 下列各数为一元二次方程 $x^{2}-4x= -3$ 的根的是( )。

A.$0$
B.$-2$
C.$-1$
D.$1$

答案： D

2. 方程 $x^{2}= 4$ 的根是____。

答案： $x_{1}=2$,$x_{2}=-2$

3. 一元二次方程 $(x + 6)^{2}= 16$ 可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是 $x + 6 = 4$,那么另一个一元一次方程是____。

答案： $x+6=-4$

例 1 已知 $a$ 是方程 $x^{2}-2025x + 1 = 0$ 的一个根,求代数式 $a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2025a}$ 的值。

答案： 由题意知$a$是方程$x^{2} - 2025x + 1 = 0$的一个根，则：
$a^{2} - 2025a + 1 = 0$，
移项可得：
$a^{2} - 2025a = -1$，
$a^{2} + 1 = 2025a$。
将$a^{2} + 1 = 2025a$代入$\frac{a^{2} + 1}{2025a}$中，可得：
$\frac{a^{2} + 1}{2025a} = \frac{2025a}{2025a} = 1$。
所以$a^{2} - 2025a + \frac{a^{2} + 1}{2025a} = -1 + 1 = 0$。
综上，答案为$0$。