《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例2
如图12,二次函数$y= ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C(0,-3)。

(1)求二次函数的表达式。
(2)M是第三象限内该二次函数图象上的动点,点M在何处时△AMC的面积最大? 最大面积是多少? 求出此时点M的坐标。

答案：
(1) 设二次函数表达式为 $y = a(x + 3)(x - 1)$。
将点 $C(0, -3)$ 代入得：
$-3 = a × 3 × (-1) $，
$a = 1$，
因此，二次函数表达式为：
$y = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$。
(2) 设点 $M$ 的坐标为 $(m, m^2 + 2m - 3)$，其中 $m ＜ 0$，
直线 $AC$ 的方程：
由点 $A(-3, 0)$ 和点 $C(0, -3)$ 可得直线 $AC$ 的方程为：
$y = -x - 3$，
点 $M$ 到直线 $AC$ 的距离：
$d = \frac{| - m - (m^2 + 2m - 3) - 3 |}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{| - m^2 - 3m |}{\sqrt{2}} = \frac{m^2 + 3m}{\sqrt{2}}$，
$AC$ 的长度：
$|AC| = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = 3\sqrt{2}$，
三角形 $AMC$ 的面积：
$S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} × |AC| × d = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \frac{m^2 + 3m}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}(m^2 + 3m) = \frac{3}{2}(m + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{8}$，
由于 $\frac{3}{2} ＞ 0$，当 $m = -\frac{3}{2}$ 时，$S_{\triangle AMC}$ 取得最大值 $\frac{27}{8} × \frac{1}{1}（实际上此处为\frac{27}{8} 对应的最大面积，因为前面已经乘以了系数） = \frac{27}{8} × （此处无需再乘，直接为最大面积）$，即 $\frac{27}{8}$ 对应的面积为 $\frac{27}{8} × 1（理解为单位面积，实际就是\frac{27}{8}） = \frac{27}{8}$（最大面积）。
此时，点 $M$ 的坐标为 $(-\frac{3}{2}, -\frac{15}{4})$。