《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 已知二次函数 $ y = x^2 - 3x - 4 $。
(1) 填写下表,并在图 4 所示的平面直角坐标系中(网格单位长度为 1)描点,画出该函数的图象。
| $ x $ | $ \frac{3}{2} $ | $ 3 $ | $ 4 $ | …$ $ |
| $ y = x^2 - 3x - 4 $ | | | | …$ $ |
(2) 这个函数图象的开口向______,顶点坐标是______,对称轴是直线______。

(3) 当 $ x $______时,$ y $ 的值随 $ x $ 的增大而减小。

答案：
解:
(1)−$\frac{25}{4}$　−4　0　画出图象如图44.
(2)上　($\frac{3}{2}$,-$\frac{25}{4}$)　x=$\frac{3}{2}$　
(3)＜$\frac{3}{2}$

7. 如图 5,抛物线 $ y = x^2 - 2x + c $ 的顶点 $ A $ 在直线 $ l: y = x - a $ 上,点 $ D(3, 0) $ 为抛物线上一点。

(1) $ a $ 的值为______。
(2) 抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ B $,试判断 $ \triangle ABD $ 的形状,并说明理由。
小锦囊
先求出点 $ A $,$ B $,$ D $ 的坐标,再根据坐标探究线段 $ AB $,$ BD $,$ AD $ 之间的数量关系。

答案： 解:
(1)5　提示:把D(3,0)代入y=x²−2x+c,得9−6+c = 0.解得c = −3.由y=x²−2x−3=(x−1)²−4,得顶点A的坐标为(1,−4).把A(1,−4)代入y=x−a,得1−a = −4.解得a = 5.　
(2)△ABD是直角三角形.理由:把x = 0代入y=x²−2x−3,得y = −3.故B(0,−3).则OB = 3.又D(3,0),故OD = 3.由勾股定理,得BD² = OB² + OD² = 18,AB² = (−4 + 3)² + 1² = 2,AD² = (3−1)² + 4² = 20.因此BD² + AB² = AD²,故△ABD是直角三角形.

8. 综合与探究
【提出问题】数学活动课上,李老师提出一个问题：对于二次函数 $ y = x^2 + 2x - 3 $,当 $ -2 \leq x \leq 2 $ 时,如何求 $ y $ 的取值范围？
【问题初探】小伟和小军分别从“数”和“形”的角度分析这个问题。
小伟从“数”的角度考虑：将原二次函数配方,得 $ y = (x + 1)^2 - 4 $,故此二次函数图象的对称轴为直线 $ x = -1 $。通过比较 $ x $ 取 $ -2 $,$ -1 $ 和 $ 2 $ 时对应的 $ y $ 值的大小关系,确定最小值在 $ x = -1 $ 时取得,即 $ y_{最小} = -4 $。因为图象开口向上,直线 $ x = 2 $ 离对称轴较远,故最大值在 $ x = 2 $ 时取得,将 $ x = 2 $ 代入二次函数表达式,得 $ y_{最大} = 5 $。所以 $ y $ 的取值范围是 $ -4 \leq y \leq 5 $。
小军从“形”的角度考虑：画出函数图象,如图 6 所示,通过观察图象,容易发现当 $ x = -1 $ 时,$ y $ 取得最小值；当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 取得最大值。将 $ x = -1 $,$ x = 2 $ 分别代入二次函数表达式,可得 $ y_{最小} = -4 $,$ y_{最大} = 5 $。所以 $ y $ 的取值范围是 $ -4 \leq y \leq 5 $。
【类比探究】(1) 对于二次函数 $ y = x^2 + 6x + 5 $,当 $ -5 \leq x \leq 0 $ 时,$ y $ 的取值范围是______。
【拓展延伸】(2) 对于 $ y = x^2 - 2ax + 5 $($ a $ 为常数,且 $ -5 \leq a \leq 0 $),当 $ -5 \leq x \leq 0 $ 时,$ y $ 的取值范围是______。

答案：
解:
(1)−4≤y≤5　提示:
(方法一)将二次函数y=x²+6x+5配方,得y=(x + 3)²−4,所以二次函数图象的对称轴为直线x = −3.又因为二次函数图象开口向上,−5≤x≤0,所以当x = −3时,y取得最小值,为−4.因为直线x = 0离对称轴较远,所以当x = 0时,y取得最大值,为5.所以当−5≤x≤0时,y的取值范围是−4≤y≤5.　(方法二)画出函数y=x²+6x+5的图象，如图45所示,通过观察图象,发现若−5≤x≤0,则当x = −3时,y取得最小值,当x = 0时,y取得最大值.所以y最小 = −4,y最大 = 5.所以当−5≤x≤0时,y的取值范围是−4≤y≤5.　
(2)−a²+5≤y≤30 + 10a或−a²+5≤y≤5　提示:因为y=x²−2ax+5=(x−a)²−a²+5,所以二次函数图象的对称轴为直线x = a.因为−5≤a≤0,所以当x = a时,y取得最小值,y最小 = −a²+5.y的最大值的取值有两种情况.情况1:若直线x = −5离对称轴较远,即−$\frac{5}{2}$＜a≤0,则当x = −5 时,y取得最大值,y最大 = (−5)²−2a×(−5)+5 = 30 + 10a.情况2:若直线x = 0离对称轴较远,或直线x = 0与直线x = −5到对称轴距离相等,即−5≤a≤−$\frac{5}{2}$,则当x = 0 时,y取得最大值,y最大 = 5.综上所述,当−5≤x≤0时,y的取值范围是−a²+5≤y≤30 + 10a或−a²+5≤y≤5.