《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 用待定系数法求二次函数的表达式：
二次函数的表达式为 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 为常数,且 $ a \neq 0 $),如果已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值),将它们代入函数表达式,列出一个关于待定系数 $ a $,$ b $,$ c $ 的三元一次方程组,求出 $ a $,$ b $,$ c $ 的值,就可以确定二次函数的表达式。

答案： （此题为方法描述题，无具体答案选项，按要求格式返回）

2. 二次函数的表达式通常有三种形式：
(1)一般式：$ y = $____($ a $,$ b $,$ c $ 为常数,且 $ a \neq 0 $)。
(2)顶点式：$ y = $____($ a $,$ h $,$ k $ 为常数,且 $ a \neq 0 $)。
(3)交点式：$ y = a(x - x_{1})(x - x_{2}) $($ a $,$ x_{1} $,$ x_{2} $ 为常数,且 $ a \neq 0 $),其中 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 为抛物线与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标。

答案：
(1)$ax^{2}+bx+c$
(2)$a(x - h)^{2}+k$

1. 二次函数的图象经过点 $ (3,1) $,顶点为 $ (2,3) $,则二次函数的表达式为( )。

A.$ y = -2(x + 2)^{2} + 3 $
B.$ y = 2(x + 2)^{2} + 3 $
C.$ y = -2(x - 2)^{2} + 3 $
D.$ y = 2(x - 2)^{2} + 3 $

答案： C

2. 已知二次函数的图象与 $ x $ 轴的交点为 $ (-1,0) $,$ (3,0) $,图象经过点 $ (0,3) $,则这个二次函数的表达式为____。

答案： $y = -x^{2}+2x+3$

3. 已知二次函数的图象经过 $ (-1,5) $,$ (0,4) $,$ (1,1) $ 三点,那么这个二次函数的表达式为____。

答案： $y = -x^{2}-2x+4$

例 分别求抛物线在满足下列条件时所表示的二次函数的表达式：
(1)经过 $ (-1,10) $,$ (0,6) $,$ (1,4) $ 三点；
(2)顶点坐标为 $ (1,-1) $,且经过点 $ (2,1) $；
(3)经过 $ (-1,0) $,$ (1,8) $,$ (3,0) $ 三点。

答案：
(1) 设二次函数表达式为$y = ax^2 + bx + c$，将$(-1,10)$，$(0,6)$，$(1,4)$代入得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 \\c = 6 \\a + b + c = 4\end{cases}$
解得$a = 1$，$b = -3$，$c = 6$，$\therefore y = x^2 - 3x + 6$。
(2) 设二次函数表达式为$y = a(x - 1)^2 - 1$，将$(2,1)$代入得$1 = a(2 - 1)^2 - 1$，解得$a = 2$，$\therefore y = 2(x - 1)^2 - 1 = 2x^2 - 4x + 1$。
(3) 设二次函数表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，将$(1,8)$代入得$8 = a(1 + 1)(1 - 3)$，解得$a = -2$，$\therefore y = -2(x + 1)(x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$。