《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 如图10,在$\odot O$中,点$A$,$O$,$D和点B$,$O$,$C$分别都在同一条直线上。
(1) 图中共有几条弦？请将它们写出来。
(2) 请任意写出两条劣弧和两条优弧。

答案： 解:
(1)有2条弦,它们是AE,AD.
(2)劣弧有$\overset{\frown}{AC}$,$\overset{\frown}{DE}$等,优弧有$\overset{\frown}{ACE}$,$\overset{\frown}{AEC}$等.(答案不唯一)

7. 如图11,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC = 2$,以$BC为直径的半圆O交AB于点D$,$P是\overset{\frown}{CD}$上的一个动点,连接$AP$,则$AP$的最小值是______。

小锦囊 连接$AO$,$OP$,由三角形三边关系,得当点$A$,$P$,$O在同一直线上时AP$取得最小值。

答案： $\sqrt{5}-1$ 提示:如图60,连接AO,交半圆于点$P_{1}$,连接OP.由三角形三边关系,得$AP+OP\geq AO$,即$AP\geq AO-OP=AO-OP_{1}=AP_{1}$,所以$AP_{1}$是AP的最小值.根据题意,得$CO=OP_{1}=1$.所以$AO=\sqrt{AC^{2}+CO^{2}}=\sqrt{5}$.所以AP的最小值为$\sqrt{5}-1$.

8. 如图12,将含$30^{\circ}角的直角三角尺ABC的直角顶点C与圆心O$重合,其斜边$AB交\odot O于点D$,点$A$在圆上。
求证：$D是AB$边的中点。

答案： 证明:如图61,连接OD.$\because\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle B=30^{\circ}$,$\therefore\angle A=60^{\circ}$.又$OA=OD$,$\therefore\triangle OAD$是等边三角形.$\therefore\angle ODA=\angle A=60^{\circ}$,$OD=AD$.$\therefore\angle DOB=\angle ODA-\angle B=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$.$\therefore\angle B=\angle DOB$.$\therefore OD=BD$.又$OD=AD$,$\therefore AD=BD$.$\therefore D$是AB边的中点.

9. 如图13,在平面直角坐标系中,$\odot P的圆心P的坐标为(2,0)$,$\odot P经过点B(4,\frac{5}{2})$。
(1) 求$\odot P的半径r$。
(2) 求$\odot P与坐标轴的交点A$,$E$,$C$,$F$的坐标。
(3) 判断点$B关于x轴的对称点D是否在\odot P$上,并说明理由。

答案： 解:
(1)如图62,过点B作$BG\perp x$轴于点G,连接BP.$\because$点B的坐标为$(4,\frac{5}{2})$,$\therefore$点G的坐标为$(4,0)$.$\because P(2,0)$,$\therefore OP=2$.在$Rt\triangle PBG$中,$PG=OG-OP=4-2=2$,$BG=\frac{5}{2}$,$\therefore PB=\sqrt{2^{2}+(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{41}}{2}$.$\therefore\odot P$的半径$r=\frac{\sqrt{41}}{2}$.
(2)如图62(见上页),连接PA,PC.$\because PE=PF=\frac{\sqrt{41}}{2}$,$OP=2$,$\therefore OE=PE-OP=\frac{\sqrt{41}}{2}-2$,$OF=OP+PF=2+\frac{\sqrt{41}}{2}$.$\therefore$点E的坐标为$(2-\frac{\sqrt{41}}{2},0)$,点F的坐标为$(2+\frac{\sqrt{41}}{2},0)$.在$Rt\triangle AOP$中,$OA=\sqrt{AP^{2}-OP^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{41}}{2})^{2}-2^{2}}=\frac{5}{2}$.$\therefore$点A的坐标为$(0,\frac{5}{2})$.同理,得点C的坐标为$(0,-\frac{5}{2})$.
(3)点D在$\odot P$上.理由如下:$\because\odot P$是轴对称图形,x轴所在直线是$\odot P$的一条对称轴,$\therefore$点B关于x轴的对称点D在$\odot P$上.