《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

在平面内,直线与圆的位置关系有三种情况.设圆心到直线的距离为 $d$,圆的半径为 $r$,则有：
(1)直线与圆相交 $\Leftrightarrow d$ ____ $r$,直线与圆恰好有 ____ 个不同的公共点；这条直线叫作圆的 ____.
(2)直线与圆相切 $\Leftrightarrow d$ ____ $r$,直线与圆只有 ____ 个公共点；这条直线叫作圆的 ____,这个公共点叫作 ____.
(3)直线与圆相离 $\Leftrightarrow d$ ____ $r$,直线与圆 ____ 公共点.

答案： （1）＜ 两 割线 （2）= 一 切线 切点 （3）＞ 没有

1. 图 1 是“光盘行动”宣传海报.将图中的餐盘看成圆,筷子看成直线,它们的位置关系是( ).

A.相切
B.相交
C.相离
D.平行

答案： B

2. 下列各图中,直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系为相切的是( ).


A.
B.
C.
D.

答案： C

3. 已知 $\odot O$ 的直径等于 $12$ cm,圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $7$ cm,则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 ____,直线 $l$ 与 $\odot O$ 的交点有 ____ 个.

答案： 相离 0

4. 已知 $\odot O$ 的半径为 $3$,直线 $l$ 与 $\odot O$ 相交,则圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 的取值范围是 ____.

答案： 0＜d＜3

例 (教材第 65 页例 1 变式)
如图 2,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6$ cm,$BC = 8$ cm.当 $r$ 分别取下列数值时,以 $C$ 为圆心、$r$ 为半径的圆与直线 $AB$ 有何位置关系？
(1)$r = 4$ cm；(2)$r = 4.8$ cm；(3)$r = 5$ cm.

思路点拨 如图 3,要判断 $\odot C$ 与直线 $AB$ 的位置关系,只需先求出圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $CD$,然后与 $r$ 比较大小即可.
解 如图 3,过点 $C$ 作 $CD\perp AB$ 于点 $D$.

在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6$ cm,$BC = 8$ cm,
$\therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 10$ cm.
$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB\cdot CD = \frac{1}{2}AC\cdot BC$,
$\therefore CD = \frac{AC\cdot BC}{AB} = \frac{6× 8}{10} = 4.8$(cm).
故圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $d = 4.8$ cm.
(1)当 $r = 4$ cm 时,
$d ＞ r$,因此 $\odot C$ 与直线 $AB$ 相离.
(2)当 $r = 4.8$ cm 时,
$d = r$,因此 $\odot C$ 与直线 $AB$ 相切.
(3)当 $r = 5$ cm 时,
$d ＜ r$,因此 $\odot C$ 与直线 $AB$ 相交.

答案： 解：如图 3，过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$，
在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90°$，$AC = 6$ cm，$BC = 8$ cm，
$\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ (cm)，
$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CD = \frac{1}{2} AC \cdot BC$，
$\therefore CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 × 8}{10} = 4.8$ (cm)，
故圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $d = 4.8$ cm，
(1) 当 $r = 4$ cm 时，
$d ＞ r$，因此 $\odot C$ 与直线 $AB$ 相离；
(2) 当 $r = 4.8$ cm 时，
$d = r$，因此 $\odot C$ 与直线 $AB$ 相切；
(3) 当 $r = 5$ cm 时，
$d ＜ r$，因此 $\odot C$ 与直线 $AB$ 相交。