《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 3 $M$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,$MA ＞ MB$,$MA= \sqrt{5}-1$。求线段 $AB$ 的长。
思路点拨 根据黄金分割比的定义列式,可求出原线段长。
解 $\because M$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,且 $MA ＞ MB$,$\therefore \frac{MA}{AB}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because MA= \sqrt{5}-1$,
$\therefore AB= \frac{2}{\sqrt{5}-1}\cdot MA= \frac{2}{\sqrt{5}-1}×(\sqrt{5}-1)= 2$。

答案： 2

1. (2023 甘肃金昌中考)若 $\frac{a}{2}= \frac{3}{b}$,则 $ab$ 的值是( )。

A.$6$
B.$\frac{3}{2}$
C.$1$
D.$\frac{2}{3}$

答案： A

2. 如果长度为 $6\ cm$,$3\ cm$,$8\ cm$,$a\ cm$ 的四条线段是成比例线段,那么 $a$ 的值可能是( )。

A.$2$
B.$4$
C.$12$
D.$3$

答案： B

3. (数学文化)(2022 江苏镇江中考)《九章算术》中记载,战国时期的铜衡杆,其形式既不同于天平衡杆,也不同于称杆。衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔,一面刻有贯通上、下的等分线。用该衡杆称物,可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上,这样,用同一个砝码就可以称出质量大于它一倍或几倍的物体的质量。图 2 为铜衡杆的使用示意图,此时被称物质量是砝码质量的______倍。

答案： 1.2 提示:由题意,得$5m_{重物}=6m_{砝码}$,所以$\frac{m_{重物}}{m_{砝码}}=\frac{6}{5}=1.2$.

4. 东方明珠塔高 $468\ m$,上球体点 $A$ 是塔身的黄金分割点(如图 3),则点 $A$ 到塔顶部的距离约是______$m$。(结果精确到 $0.1\ m$,$\sqrt{5}\approx 2.236$)

答案： 178.8

1. 已知线段 $a$,$b$,$c$,$d$,若 $ab = cd$,则下列式子一定正确的是( )。

A.$\frac{a}{c}= \frac{b}{d}$
B.$\frac{a}{d}= \frac{b}{c}$
C.$\frac{a}{c}= \frac{d}{b}$
D.$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

答案： C

2. 如图 4,在 $\triangle ABC$ 中,$\frac{BE}{EA}= \frac{BD}{DC}$。若 $BD = 3$,$DC = 2$,$AB = 10$,则 $BE$ 的长为( )。


A.$8$
B.$6$
C.$4$
D.$2$

答案： B

3. 若 $\frac{x}{y}= 2$,则 $\frac{x}{x - y}$ 的值为( )。

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： C 提示:(方法一)由$\frac{x}{y}=2$,得$x=2y$,所以$\frac{x}{x-y}=\frac{2y}{2y-y}=\frac{2y}{y}=2$. (方法二)由$\frac{x}{y}=2$,设$x=2k$,则$y=k$.所以$\frac{x}{x-y}=\frac{2k}{2k-k}=2$. (方法三)由$\frac{x}{y}=2$,取$x=2,y=1$,则$\frac{x}{x-y}=\frac{2}{2-1}=2$.

4. 画在图纸上的某一零件的长度是 $32\ mm$,若比例尺是 $1:15$,则该零件实际长度是______$mm$。

答案： 480