《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 计算样本方差的公式：
一般地,设$n$个数据,$x_{1}$,$x_{2}$,…,$x_{n}的平均数为\overline{x}$,则方差$s^{2}= \frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+…+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$。方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动越大。
2. 用样本方差估计总体方差的步骤：
① 确定样本；
② 用公式计算样本平均数；
③ 用公式计算样本方差；
④ 根据样本方差估计总体方差。

答案： 无

例2 为了考察甲、乙两种农作物的长势,研究人员分别随机抽取了6株苗,测得它们的高度(单位：cm)如下：
甲：98,102,100,100,101,99；
乙：100,103,101,97,100,99。
你认为哪种农作物长得更整齐？请说明理由。
思路点拨 先算出甲与乙的方差,再进行比较。方差越小的,农作物长势越整齐。
解 甲种农作物长得比较整齐。
理由：
$\overline{x}_{甲}= \frac{1}{6}×(98 + 102 + 100 + 100 + 101 + 99)= 100(cm)$,
$\overline{x}_{乙}= \frac{1}{6}×(100 + 103 + 101 + 97 + 100 + 99)= 100(cm)$。
计算样本方差,得
$s_{甲}^{2}= \frac{1}{6}×[(98 - 100)^{2}+(102 - 100)^{2}+…+(99 - 100)^{2}]= \frac{5}{3}$,
$s_{乙}^{2}= \frac{1}{6}×[(100 - 100)^{2}+(103 - 100)^{2}+…+(99 - 100)^{2}]= \frac{10}{3}$。
由此估计甲、乙两种农作物的长势的总体方差分别为$\frac{5}{3}$,$\frac{10}{3}$。
因为$\frac{5}{3}＜\frac{10}{3}$,
所以甲种农作物长得比较整齐。

答案： 答题卡作答：
$ \begin{aligned}\overline{x}_{甲} &= \frac{1}{6} × (98 + 102 + 100 + 100 + 101 + 99) \\&= 100 cm, \\\overline{x}_{乙} &= \frac{1}{6} × (100 + 103 + 101 + 97 + 100 + 99) \\&= 100 cm, \\s_{甲}^{2} &= \frac{1}{6} × [(98 - 100)^{2} + (102 - 100)^{2} + (100 - 100)^{2} + (100 - 100)^{2} + (101 - 100)^{2} + (99 - 100)^{2}] \\&= \frac{5}{3}, \\s_{乙}^{2} &= \frac{1}{6} × [(100 - 100)^{2} + (103 - 100)^{2} + (101 - 100)^{2} + (97 - 100)^{2} + (100 - 100)^{2} + (99 - 100)^{2}] \\&= \frac{10}{3} .\end{aligned}$
因为 $\frac{5}{3} ＜ \frac{10}{3}$，
所以甲种农作物长得比较整齐。

1. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各选取了10棵,每棵产量的平均数$\overline{x}及方差s^{2}$如下表：
|品种|甲|乙|丙|丁|
|$\overline{x}/kg$|24|24|23|20|
|$s^{2}$|2.1|1.9|2|1.9|
在这四个品种中,产量既高又稳定的是( )。

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： B