《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 如图 4,在 $ \triangle ABD $ 中,$ AE $,$ BE $ 分别是 $ \angle BAD $,$ \angle ABD $ 的平分线,延长 $ AE $ 交 $ \triangle ABD $ 的外接圆于点 $ C $,连接 $ BC $,$ CD $,$ DE $.
(1) 已知 $ \angle CBD = 40^{\circ} $,求 $ \angle BAD $ 的度数.
(2) 求证：点 $ C $ 是 $ \triangle BDE $ 的外心.

- 思路点拨：
(1) 根据角平分线的定义和圆周角定理求解.
(2) 要证点 $ C $ 是 $ \triangle BDE $ 的外心,只要证 $ BC = EC = DC $ 即可. 根据角平分线的定义、圆周角定理及外角性质,进行角度间的等量代换即可得证.
- (1) 解：
$ \because $ 圆周角 $ \angle CAD $ 和圆周角 $ \angle CBD $ 所对的弧为 $ \overset{\frown}{CD} $,$ \angle CBD = 40^{\circ} $,
$ \therefore \angle CAD = \angle CBD = 40^{\circ} $.
$ \because AE $ 平分 $ \angle BAD $,
$ \therefore \angle BAD = 2\angle CAD = 2× 40^{\circ} = 80^{\circ} $.
- (2) 证明：
$ \because AC $ 平分 $ \angle BAD $,
$ \therefore \angle BAC = \angle CAD $. $ \therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} $.
$ \therefore BC = CD $,$ \angle BAC = \angle CBD $.
$ \because BE $ 平分 $ \angle ABD $,
$ \therefore \angle ABE = \angle DBE $.
又 $ \angle CBE = \angle CBD + \angle DBE $,
$ \angle CEB = \angle BAC + \angle ABE $,
$ \therefore \angle CBE = \angle CEB $.
$ \therefore BC = EC $. $ \therefore BC = EC = CD $.
$ \therefore $ 点 $ B $,$ E $,$ D $ 在以点 $ C $ 为圆心的同一个圆上.
$ \therefore $ 点 $ C $ 是 $ \triangle BDE $ 的外心.

答案：
(1) 解：
∵∠CAD和∠CBD所对的弧为$\overset{\frown}{CD}$，∠CBD=40°，
∴∠CAD=∠CBD=40°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠CAD=2×40°=80°．
(2) 证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴BC=CD，∠BAC=∠CBD．
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE．
∵∠CBE=∠CBD+∠DBE，∠CEB=∠BAC+∠ABE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴BC=EC，
∴BC=EC=CD，
∴点B，E，D在以点C为圆心的同一个圆上，
∴点C是△BDE的外心．

1. 如图 5,已知点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心,$ \angle A = 40^{\circ} $,连接 $ BO $,$ CO $,则 $ \angle BOC $ 的度数是( ).

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 80^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

答案： C

2. 已知 $ Rt\triangle ABC $ 的三条边长分别为 $ 3\ cm $,$ 4\ cm $,$ 5\ cm $,则这个三角形外接圆的半径是( ).

A.$ 2.5\ cm $
B.$ 3\ cm $
C.$ 4\ cm $
D.$ 5\ cm $

答案： A

3.(教材第 63 页练习第 2 题变式)图 6 是一块残破的圆片. 已知圆弧上的三点 $ A $,$ B $,$ C $.
(1) 用尺规作图法找出 $ \overset{\frown}{BAC} $ 所在圆的圆心.(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 已知 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形,$ BC = 8\ cm $,$ AB = AC = 5\ cm $,求圆片的半径.

答案：
(1)如图70,点O为$\widehat{BAC}$所在圆的圆心.
(2)如图70,连接OB,OC,OA,OA交BC于点E,设圆片的半径为R cm.
∵ AB=AC,
∴ ∠BOA=∠COA.又OA=OB=OC,
∴ ∠BAO=$\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOA)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle COA)=\angle CAO$.
∴ AE是等腰三角形ABC的顶角的平分线.
∴ AE⊥BC.
∴ BE=$\frac{1}{2}BC=4$ cm.在Rt△ABE中,AE=$\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$(cm).在Rt△BEO中,由勾股定理,得$OB^{2}=BE^{2}+OE^{2}$,即$R^{2}=4^{2}+(R-3)^{2}$,解得$R=\frac{25}{6}$.
∴ 圆片的半径为$\frac{25}{6}$ cm.

1. 钝角三角形外接圆的圆心在( ).

A.三角形内
B.三角形上
C.三角形外
D.以上都有可能

答案： C