《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

2. 下列方程,适合用公式法求解的是( ).

A.$(x - 3)^{2}= 2$
B.$-x^{2}-326x + 1 = 0$
C.$x^{2}-100x+2500 = 0$
D.$2x^{2}+3x - 1 = 0$

答案： D

3. 一元二次方程 $x(x + 4)= 3x + 12$ 的根是( ).

A.$x = 3$
B.$x_{1}= 3,x_{2}= -4$
C.$x = -4$
D.$x_{1}= -4,x_{2}= -3$

答案： B

4. 一元二次方程 $(x + 1)^{2}= 9$ 的根是______.

答案： $x_{1}=2,x_{2}=-4$

5. 选择合适的方法解下列方程：
(1) $(2x + 1)^{2}-x^{2}= 0$；
(2) $(x - 3)^{2}+4x(x - 3)= 0$；
(3) $x^{2}-8x + 9 = 0$；
(4) $(3x - 2)(x + 2)= 28$.

答案： 解:
(1)把方程左边因式分解,得$(2x+1+x)(2x+1-x)=0$,即$(3x+1)(x+1)=0$.所以$3x+1=0$或$x+1=0$.解得$x_{1}=-\frac {1}{3},x_{2}=-1$.
(2)把方程左边因式分解,得$(x-3)\cdot (x-3+4x)=0$,即$(x-3)(5x-3)=0$.由此得$x-3=0$或$5x-3=0$.解得$x_{1}=3,x_{2}=\frac {3}{5}$.
(3)配方,得$x^{2}-8x+16-16+9=0$,即$(x-4)^{2}=7$.根据平方根的意义,得$x-4=\sqrt {7}$或$x-4=-\sqrt {7}$.解得$x_{1}=4+\sqrt {7},x_{2}=4-\sqrt {7}$.
(4)原方程可化为$3x^{2}+4x-32=0$.这里$a=3,b=4,c=-32$,因而$b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-32)=400＞0$.所以$x=\frac {-4\pm \sqrt {400}}{2×3}=\frac {-2\pm 10}{3}$.因此原方程的根为$x_{1}=-4,x_{2}=\frac {8}{3}$.

6. 若某三角形的两条边长分别是方程 $x(x - 9)+4(9 - x)= 0$ 的两个实数根,则这个三角形的第三条边的长可能是( ).

A.5
B.10
C.13
D.14

答案： B 提示:把方程左边因式分解,得$(x-9)(x-4)=0$.解得$x_{1}=4,x_{2}=9$.设第三边长为a,则$5＜a＜13.$

7. 现规定一种新运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$.若 $2x^{2}-4x + 1 = 0$,则 $\begin{vmatrix}x&0\\-3x^{2}&\sqrt{2}\end{vmatrix} $ 的值为______.

答案： $\sqrt {2}+1$或$\sqrt {2}-1$ 提示:解方程$2x^{2}-4x+1=0$,得$x=1\pm \frac {\sqrt {2}}{2}$.所以$\begin{vmatrix} x&0\\ -3x^{2}&\sqrt {2}\end{vmatrix} =\sqrt {2}x-0=\sqrt {2}×(1\pm \frac {\sqrt {2}}{2})=\sqrt {2}\pm 1$.

8. 理解与运用
【阅读材料】 阅读下列材料,解答问题：
解方程：
$(2x - 5)^{2}+(3x + 7)^{2}= (5x + 2)^{2}$.
解：设 $m = 2x - 5,n = 3x + 7$,
则 $m + n = 5x + 2$.
所以原方程可化为 $m^{2}+n^{2}= (m + n)^{2}$.
由此得 $mn = 0$,即 $(2x - 5)(3x + 7)= 0$.
所以 $2x - 5 = 0$ 或 $3x + 7 = 0$.
解得 $x_{1}= \frac{5}{2},x_{2}= -\frac{7}{3}$.
【方法运用】 请利用上述方法解方程：
$(4x - 5)^{2}+(3x - 2)^{2}= (x - 3)^{2}$.

答案： 解:设$m=4x-5,n=3x-2$,则$m-n=x-3$.所以原方程可化为$m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}$.由此得$mn=0$,即$(4x-5)(3x-2)=0$.所以$4x-5=0$或$3x-2=0$.解得$x_{1}=\frac {5}{4},x_{2}=\frac {2}{3}.$