《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例2 计算：
$\sqrt{3}\sin 60^{\circ}-2\sin 30^{\circ}-\sin^{2}45^{\circ}$.
思路点拨 分别把$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$代入进行计算.
解 原式$=\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-2×\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$
$=\dfrac{3}{2}-1-\dfrac{1}{2}= 0.$

答案： 原式$=\sqrt{3}×\sin 60^{\circ}-2×\sin 30^{\circ}-\sin^{2}45^{\circ}$
$=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-2×\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=\frac{3}{2}-1-\frac{1}{2}$
$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1$
$=1 - 1$
$=0$

1. ($2023$天津中考)$\sin 45^{\circ}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$的值为( ).

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

答案： B

2. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$AC = 8$,则$\sin A$的值是( ).

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$

答案： A

3. 用计算器计算：
(1)$\sin 72^{\circ}\approx$____(精确到$0.0001$)；
(2)已知$\sin α = 0.3688$,则锐角$α\approx$____(精确到$0.1^{\circ}$).

答案：
(1)0.9511
(2)$21.6^{\circ}$

4. 如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 8$,$BC = 4$. 求$AC的长和\sin A$的值.

答案： 解:
∵ $\angle C=90^{\circ}$,$AB=8$,$BC=4$,
∴ $AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$,$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

1. 在$\triangle ABC$中,$\angle A = 105^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,则$\sin C$的值是( ).

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$

答案： A

2. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\sin A= \dfrac{3}{5}$,$AB = 10$,则$AC$的长为( ).

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

答案： B

3. 用计算器计算：
(1)$\sin 35^{\circ}\approx$____(精确到$0.0001$)；
(2)若$\sin α = 0.8342$,则锐角$α\approx$____(精确到$0.1^{\circ}$).

答案：
(1)0.5736
(2)$56.5^{\circ}$

4. 计算：
(1)$2\sin 30^{\circ}-\sqrt{2}\sin 45^{\circ}=$____；
(2)$\sin^{2}45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cdot\sin 60^{\circ}=$____.

答案：
(1)0
(2)$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

5. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 2$,$BC = 2$,则$\sin A= $____,$\angle A= $____.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $45^{\circ}$