《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

7. (2022 贵州贵阳中考)交通安全关系千万家。高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪,图 14 是该段隧道的截面示意图。测速仪 C 和测速仪 E 到路面的距离 CD = EF = 7 m,测速仪 C 和 E 之间的距离 CE = 750 m。一辆小汽车在水平公路上由西向东匀速行驶,在测速仪 C 处测得小汽车在隧道入口 A 点的俯角为 25°,在测速仪 E 处测得小汽车在 B 点的俯角为 60°,小汽车在隧道中从点 A 行驶到点 B 所用时间为 38 s。(图中所有点在同一平面内)
(1)求 A,B 两点间的距离。(精确到 1 m)
(2)该隧道限速 22 m/s,请你判断小汽车从点 A 行驶到点 B 是否超速,并说明理由。
(参考数据：√3 ≈ 1.7,sin 25° ≈ 0.4,cos 25° ≈ 0.9,tan 25° ≈ 0.5,sin 65° ≈ 0.9,cos 65° ≈ 0.4,tan 65° ≈ 2.1)

答案： 7.解:
(1)由题意,得∠CAD = 25°,∠EBF = 60°,CE = DF = 750m.在Rt△ACD中,CD = 7m,
∴ AD = $\frac{CD}{\tan25^{\circ}}\approx\frac{7}{0.5}=14$(m).在Rt△BEF中,EF = 7m,
∴ BF = $\frac{EF}{\tan60^{\circ}}\approx\frac{7}{1.7}\approx4.1$(m).
∴ AB = AD + DF - BF = 14 + 750 - 4.1≈760(m).答:A,B两点之间的距离约为760m.
(2)小汽车从点A行驶到点B没有超速.理由:由题意,得760÷38 = 20(m/s).
∵ 20m/s ＜ 22m/s,
∴ 小汽车从点A行驶到点B没有超速.

8. (2022 辽宁阜新中考)如图 15,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB。在居民楼前方有一斜坡,坡长 CD = 15 m,斜坡的倾斜角为 α,cos α = $\frac{4}{5}$。小文在 C 点处测得楼顶端 A 的仰角为 60°,在 D 点处测得楼顶端 A 的仰角为 30°(点 A,B,C,D 在同一平面内)。
(1)求 C,D 两点的高度差。
(2)求居民楼的高度 AB。
(结果精确到 1 m,参考数据：√3 ≈ 1.7)

答案：
8.解:
(1)如图24,过点D作DE⊥BC于点E.在Rt△DCE中,$\cos\alpha=\frac{4}{5}$,CD = 15m,
∴ CE = CD·cosα = 15×$\frac{4}{5}$ = 12(m).
∴ DE = $\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$(m).答:C,D两点的高度差为9m.
(2)如图24,过点D作DF⊥AB于点F.由题意,得BF = DE = 9m,DF = BE.设AF = xm,在Rt△ADF中,∠ADF = 30°,
∴ $\tan\angle ADF=\tan30^{\circ}=\frac{AF}{DF}=\frac{x}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴ DF = $\sqrt{3}x$.在Rt△ABC中,AB = AF + BF = (x + 9)m,BC = BE - CE = ($\sqrt{3}x$-12)m.
∴ $\tan\angle ACB=\tan60^{\circ}=\frac{AB}{BC}=\frac{x + 9}{\sqrt{3}x - 12}=\sqrt{3}$.解得$x = 6\sqrt{3}+\frac{9}{2}$.经检验,$x = 6\sqrt{3}+\frac{9}{2}$是原方程的解,且符合题意.
∴ AB = $6\sqrt{3}+\frac{9}{2}+9\approx24$(m).答:居民楼的高度AB约为24m.