《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

2. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 6\ cm $,$ BC = 8\ cm $,则它的外心与点 $ C $ 的距离为( ).

A.$ 5\ cm $
B.$ 6\ cm $
C.$ 7\ cm $
D.$ 8\ cm $

答案： A 提示:Rt△ABC的外心为斜边AB的中点.

3. 如图 7,在 $ 5×7 $ 网格中,各小正方形边长均为 1,点 $ O $,$ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $ 均在格点上,点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心. 请写出以点 $ O $ 为外心的三角形：______.(不添加字母,$ \triangle ABC $ 除外)

答案： △ABD,△ACD,△BCD

4. 如图 8,已知点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心,连接 $ OB $,若 $ \angle OBC = 28^{\circ} $,则 $ \angle A $ 的度数为______.

答案： 62° 提示:如图71,连接OA,OC.由点O是△ABC的外心,得OA=OB=OC.则∠OCB=∠OBC=28°,故∠BOC=180°-2×28°=124°.因此∠BAC=$\frac{1}{2}\angle BOC=62^{\circ}$.

5. 如图 9,已知 $ BD $,$ CE $ 是 $ \triangle ABC $ 的高,$ M $ 为 $ BC $ 的中点. 求证：点 $ M $ 是过 $ B $,$ C $,$ D $,$ E $ 四点的圆的圆心.

答案： 证明:如图72,连接ME,MD.
∵ BD,CE分别是△ABC的高,M为BC的中点,
∴ ME=MC=MB=$\frac{1}{2}BC$,MD=MC=MB=$\frac{1}{2}BC$.
∴ ME=MD=MC=MB.
∴ 点M是过B,C,D,E四点的圆的圆心.

6. 如图 10,点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心,$ OD \perp AB $,$ OE \perp AC $,垂足分别为 $ D $,$ E $,点 $ M $,$ N $ 分别是 $ OD $,$ OE $ 的中点,连接 $ MN $. 若 $ BC = 6 $,则 $ MN $ 的长为______.

答案： 1.5 提示:连接DE.由点O是△ABC的外心,得O是△ABC三边的垂直平分线的交点.从而DE是△ABC的中位线,$DE=\frac{1}{2}BC=3$.又MN是△ODE的中位线,故$MN=\frac{1}{2}DE=1.5$.

7. 如图 11,在平面直角坐标系中,$ OA = OB $,$ A(-2,0) $,$ OB $ 与 $ x $ 轴的夹角为 $ 60^{\circ} $.
(1) 用尺规作图的方法作出 $ \triangle AOB $ 的外接圆 $ \odot E $.
(2) 求 $ \odot E $ 的圆心坐标.

答案：
(1)如图73,分别作OA,AB边的垂直平分线,两条垂直平分线的交点E即为过A,O,B三点的圆的圆心.以点E为圆心,OE长为半径画圆即可得⊙E.
(2)设OA边的垂直平分线与x轴交于点F,连接AE.
∵ OA=OB,A(-2,0),OB与x轴的夹角为60°,
∴ FO=1,$\angle EOA=\angle BOE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ}$.
∵ EA=EO,$\angle EOA=60^{\circ}$,
∴ △EOA是等边三角形.
∴ OE=OA=2.
∴ 在Rt△EFO中,$EF=\sqrt{OE^{2}-OF^{2}}=\sqrt{3}$.
∴ 点E的坐标是$(-1,\sqrt{3})$.

8. 如图 12,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = BC $,$ D $ 是平面内不与点 $ A $,$ B $,$ C $ 重合的一点,$ \angle ABC = \angle DBE $,$ BD = BE $.
(1) 求证：$ \triangle ABD \cong \triangle CBE $.
(2) 当点 $ D $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心时,请判断四边形 $ BDCE $ 的形状,并证明你的结论.

答案：
(1)证明:
∵ ∠ABC=∠DBE,
∴ ∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD与△CBE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ \angle ABD=\angle CBE,\\ BD=BE,\end{array}\right.$
∴ △ABD≌△CBE(SAS).
(2)解:四边形BDCE是菱形.证明:
∵ △ABD≌△CBE,
∴ AD=CE.
∵ 点D是△ABC的外心,
∴ AD=BD=CD.又BD=BE,
∴ BD=BE=CE=CD.
∴ 四边形BDCE是菱形.