《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 我们把宽与长的比值等于黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 的矩形称为黄金矩形。如图 5,在黄金矩形 $ABCD(AB ＞ BC)$ 的边 $AB$ 上取一点 $E$,使得 $BE = BC$,则 $\frac{AE}{AD}$ 的值为______。(结果保留根号)

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

6. 求下列各式中 $x$ 的值：
(1)$5:\frac{1}{2}= 4:x$；
(2)$\frac{2}{3}x:7= \frac{1}{2}:6$。

答案：
(1)$\frac{2}{5}$
(2)$\frac{7}{8}$

7. 图 6 为小成调整他的计算机屏幕的分辨率时看到的选项,当他从建议选项 $1920×1080$ 调整成 $1400×1050$ 时,由于比例改变($1920:1080\neq1400:1050$),画面左右会出现黑色区域,比例不变就不会有此问题。要使画面左右不会出现黑色区域,小成应该将他的计算机屏幕分辨率调整成( )。


A.$1680×1050$
B.$1600×900$
C.$1440×900$
D.$1280×1024$

答案： B 提示:因为1920:1080=1600:900,所以选项B符合题意.

8. 如图 7,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$CD\perp AB$,垂足为点 $D$。
(1)求 $CD$,$AD$,$BD$ 的长。
(2)线段 $AD$,$CD$,$CD$,$BD$ 是成比例线段吗？请说明理由。

答案：
(1)$CD=2.4$，$AD=1.8$，$BD=3.2$
(2)是成比例线段.理由:$\because \frac{AD}{CD}=\frac{1.8}{2.4}=\frac{3}{4}$,$\frac{CD}{BD}=\frac{2.4}{3.2}=\frac{3}{4}$,$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.$\therefore$线段$AD,CD,CD,BD$是成比例线段.

9. 如图 8,以长为 $2$ 的线段 $AB$ 为边作正方形 $ABCD$,取 $AB$ 的中点 $P$,连接 $PD$,在 $BA$ 的延长线上取点 $F$,使 $PF = PD$,以 $AF$ 为边作正方形 $AMEF$,点 $M$ 在线段 $AD$ 上。
(1)求 $AM$,$DM$ 的长。
(2)判断点 $M$ 是否为线段 $AD$ 的黄金分割点,请说明理由。

答案：
(1)$AM=\sqrt{5}-1$，$DM=3-\sqrt{5}$
(2)点$M$是线段$AD$的黄金分割点.理由:因为$\frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以点$M$是线段$AD$的黄金分割点.