《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

17. (16 分)草莓是一种深受大家喜爱的水果。某超市一段时间内每天调运一批成本价为每千克 20 元的草莓,以不低于成本价且不超过每千克 30 元的价格销售,每天销售草莓的数量 $ y $(kg)与每千克的售价 $ x $(元)之间的函数关系如图 10。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
(2)该超市将草莓的每千克售价定为多少元时,每天销售草莓的利润可达到 500 元？
(3)当草莓的每千克售价定为多少元时,该超市每天销售草莓获得的利润最大？最大利润是多少元？
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答案： 17.解:
(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b$,将$(20,120)$,$(30,80)$代入,得$\begin{cases}20k + b = 120\\30k + b = 80\end{cases}$.解得$\begin{cases}k = -4\\b = 200\end{cases}$.所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = -4x + 200(20\leqslant x\leqslant30)$.
(2)由题意,得$(x - 20)(-4x + 200)=500$.解得$x_{1}=25$,$x_{2}=45$.因为$20\leqslant x\leqslant30$,所以$x = 25$.答:每千克售价定为25元时,每天销售草莓的利润可达到500元.
(3)设每天销售草莓的利润为$w$元.由题意,得$w=(x - 20)(-4x + 200)=-4x^{2}+280x - 4000=-4(x - 35)^{2}+900$.因为当$x ＜ 35$时,$w$随$x$的增大而增大,且$20\leqslant x\leqslant30$,所以当$x = 30$时,$w$有最大值,最大值为$-4(30 - 35)^{2}+900 = 800$(元).答:当草莓的每千克售价定为30元时,该超市每天销售草莓获得的利润最大,最大利润是800元.

18. (2024 广西中考改编)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究。
【经典回顾】 二次函数求最值的方法。
(1)老师给出 $ a = -4 $,求二次函数 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $ 的最小值。
①对应的函数表达式是______。
②求当 $ x $ 取何值时,函数 $ y $ 有最小值,并写出此时的 $ y $ 值。
【举一反三】 老师给出更多 $ a $ 的值,同学们求出对应的函数在 $ x $ 取何值时,$ y $ 的最小值。记录结果,并整理成下表：
| $ a $ | …$ $ | $ -4 $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | …$ $ |
| $ x $ | …$ $ | $ * $ | $ 2 $ | $ 0 $ | $ -2 $ | $ -4 $ | …$ $ |
| $ y $ 的最小值 | …$ $ | $ * $ | $ -9 $ | $ -3 $ | $ -5 $ | $ -15 $ | …$ $ |

注：$ * $ 为②的计算结果。
【探究发现】 老师：“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现。”
甲同学：“我发现,老师给了 $ a $ 值后,我们只要取 $ x = -a $,就能得到 $ y $ 的最小值。”
乙同学：“我发现,$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化,当 $ a $ 由小变大时,$ y $ 的最小值先增大后减小,所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值。”
(2)请结合函数表达式 $ y = x^2 + 2ax + a - 3 $,解释甲同学的说法是否合理。
(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确,请求出此最大值；若不正确,请说明理由。

答案： 18.解:
(1)①$y = x^{2}-8x - 7$②$y = x^{2}-8x - 7=(x - 4)^{2}-23$,故当$x = 4$时,$y$有最小值,最小值为$-23$.
(2)$y = x^{2}+2ax + a - 3=(x + a)^{2}-a^{2}+a - 3$,关于$x$的二次函数的图象开口向上,对称轴为直线$x = -a$,所以当$x = -a$时,$y$有最小值.故甲同学的说法是合理的.
(3)乙同学的猜想正确.由
(2)可知,当$x = -a$时,$y$有最小值,最小值为$-a^{2}+a - 3=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{11}{4}$.由$-\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}\leqslant0$,得$-\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{11}{4}\leqslant-\frac{11}{4}$.所以$y$的最小值中存在最大值,最大值为$-\frac{11}{4}$.