《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 二次函数与一元二次方程的联系：
在 $ y = ax^2 + bx + c $ 中,令 $ y = 0 $,得到一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $。若一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的实数根为 $ x_1 $,$ x_2 $,则抛物线与 $ x $ 轴的交点的横坐标为______。

答案： $x_{1},x_{2}$

2. 由一元二次方程的根的情况,可以确定相应的二次函数的图象与 $ x $ 轴的交点个数：
当 $ b^2 - 4ac ＞ 0 $ 时,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)与 $ x $ 轴有______个交点；当 $ b^2 - 4ac = 0 $ 时,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)与 $ x $ 轴有______个交点(顶点在 $ x $ 轴上)；当 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)与 $ x $ 轴______交点。

答案： 两 一 没有

1. 二次函数 $ y = x^2 + ax + b $ 的图象如图 1,则方程 $ x^2 + ax + b = 0 $ 的解是( )。

A.无解
B.$ x = 1 $
C.$ x = 4 $
D.$ x_1 = -1 $,$ x_2 = 4 $

答案： D

2. 二次函数 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴有______个交点。

答案： 2 提示:方程$x^{2}-2x-3=0$中，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-3)=16＞0$，所以图象与x轴有2个交点.

3. 二次函数 $ y = x^2 + 4x + m $ 的图象如图 2,则图象与 $ x $ 轴有______个交点,方程 $ x^2 + 4x + m = 0 $ 的根的情况是______,$ m $ 的值是______。
]

答案： 1 有两个相等的实数根 4 提示:由$\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4m=0$，解得$m=4$.

例 1 如图 3,二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ B $,$ C $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ A $。求 $ \triangle ABC $ 的面积。

思路点拨 要求 $ \triangle ABC $ 的面积,需先求出点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标。解一元二次方程 $ -x^2 + 2x + 3 = 0 $,可求得 $ B $,$ C $ 两点的横坐标；令 $ x = 0 $,求 $ y $ 的值,即得点 $ A $ 的纵坐标。
解 在 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 中,令 $ y = 0 $,得 $ -x^2 + 2x + 3 = 0 $。解得 $ x_1 = -1 $,$ x_2 = 3 $。
所以点 $ B $ 的坐标为 $ (-1, 0) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (3, 0) $。
所以 $ BC = |3 - (-1)| = 4 $。
在 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 中,
令 $ x = 0 $,得 $ y = 3 $。
所以点 $ A $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
从而得 $ OA = 3 $。
所以 $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot OA = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $。

答案： $6$