《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 如图12,已知CD·CB= CA·CE,∠ACD= ∠BCE. 求证：△ACB∽△DCE.

答案： 证明:
∵ ∠ACD=∠BCE,
∴ ∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB,即∠ACB=∠DCE.
∵ CD·CB=CA·CE,
∴ $\frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}$.
∴ △ACB∽△DCE.

6. 如图13,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED= ∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且$\frac{AD}{AC}= \frac{DF}{CG}$.
(1) 求证：△ADF∽△ACG.
(2) 当$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{2}$时,求$\frac{AF}{FG}$的值.

答案：
(1)证明:
∵ ∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴ ∠ADF=∠C.又
∵ $\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$,
∴ △ADF∽△ACG.　
(2)解:
∵ △ADF∽△ACG,
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$.又
∵ $\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AF}{FG}=1$.

7. 探究与说理
【问题情境】如图14,在矩形ABCD中,AB= 2,BC= 5,点P在BC边上,BP= 1,点M在CB的延长线上,∠MPN= 90°. 将∠MPN绕点P按顺时针方向旋转,PM交AB边(或AD边)于点E,PN交AD边(或CD边)于点F,当PN旋转至与PC重合时,∠MPN停止旋转.

【特殊情形】(1) 如图15,我们发现,当PM过点A时,PN也恰好过点D. 此时,△ABP______△PCD(填“≌”或“∽”),请说明理由.
【类比探究】(2) 如图16,在∠MPN旋转的过程中(PM,PN不与BC重合),$\frac{PE}{PF}$是否为定值？若是,则请求出该定值；若不是,则请说明理由.

答案：
(1)∽　理由:
∵ AB=2,PC=5 - 1=4,
∴ $\frac{AB}{PC}=\frac{1}{2}$.
∵ BP=1,CD=AB=2,
∴ $\frac{BP}{CD}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$.又∠B=∠C=90°,
∴ △ABP∽△PCD.　
(2)$\frac{PE}{PF}$为定值.连接AP,DP.由勾股定理,得$AP^2=2^2+1^2=5$,$DP^2=4^2+2^2=20$,又$AD^2=5^2=25$,故$AP^2+DP^2=AD^2$,即∠APD=90°.所以当PN与AD边相交时，PM与AB边相交;当PN与DC边相交时,PM与AD边相交.①当PN与AD边相交时,如图9,过点F作FG⊥BC于点G,则GF=AB,∠PGF=90°.
∵ ∠MPN=90°,
∴ ∠EPB+∠GPF=90°.
∵ ∠B=90°,
∴ ∠EPB+∠BEP=90°.
∴ ∠BEP=∠GPF.又∠B=∠PGF,
∴ △EBP∽△PGF.
∴ $\frac{PE}{PF}=\frac{BP}{GF}=\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$.②如图10,当PN与DC边相交时,过点E作EH⊥BC于点H,同理可证△EHP∽△PCF.
∴ $\frac{PE}{PF}=\frac{EH}{PC}=\frac{AB}{PC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.综上,$\frac{PE}{PF}=\frac{1}{2}$.