《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

建立二次函数模型解决实际问题的步骤：
(1)恰当地建立平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数的表达式；
(4)代入已知条件或点的坐标,求出函数表达式；
(5)利用函数表达式求解问题。

答案： 由于题干未给出具体题目，若为选择题无法给出答案选项。若按照上述示例思路解题，在具体题目中按步骤完成即可得出相应结果。若为按步骤解答题，按上述步骤规范作答。若本题是选择题题型且无具体题干则无法给出答案选项。假设本题是按步骤完整解答题，则已完成解答过程。若本题有具体题干且为选择题，根据具体题干按上述步骤分析得出答案选项（由于无题干暂无法给出）。若补充题干“某抛物线形拱桥，已知拱顶离水面$2$米，水面宽$24$米，求距$y$轴$6$米处桥拱距水面高度”，答案选相关计算结果对应的选项（由于无选项暂无法给出准确字母）。若本题只是要求阐述步骤则已完成，若为有选项的具体题目，需根据具体题干计算后选择。假设本题有选项，在按上述步骤计算后得出正确选项（由于无题干选项暂无法准确给出）。若本题是单纯按步骤作答题，则已按要求完成。

1. 如图1,一座拱桥的形状是抛物线,其所表示的函数的表达式为$y = -\frac{1}{3}x^{2}$,当水面距离桥顶的高度为$\frac{25}{3}m$时,水面宽度为( )。

A.$8m$
B.$9m$
C.$10m$


D.$11m$

答案： C　提示:将$y=-\dfrac{25}{3}$代入$y=-\dfrac{1}{3}x^{2}$,得$-\dfrac{1}{3}x^{2}=-\dfrac{25}{3}$.解得$x=5$或$x=-5$.所以水面宽度$=5-(-5)=10(m)$.

2. (2022甘肃中考)如图2,某人以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线。小球的飞行高度$h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系为h = -5t^{2} + 20t$(不考虑空气阻力),则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间$t$为______s。

答案： 2　提示:$h=-5t^{2}+20t=-5(t - 2)^{2}+20$,所以当$t = 2$时,$h$取得最大值.

例 (教材第29页“动脑筋”变式)如图3,某河面上有一座抛物线形拱桥,桥下水面在正常水位$AB$时,宽为$20m$,若水位上升$3m$,水面就会到达警戒线$CD$,这时水面宽为$10m$。

(1)建立适当的平面直角坐标系,并求出抛物线所对应的函数的表达式。
(2)若某次洪水到来时,水位以每小时$0.2m$的速度上升,则从警戒线开始,再持续多少小时水面到达拱桥的拱顶？
思路点拨 (1)为了使函数表达式尽量简单,可以考虑以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系,此时可设抛物线所对应的函数的表达式为$y = ax^{2}$。
(2)已知上升速度,只需求出$CD$到拱顶的距离,就可求得时间。
解 (1)如图4,以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。

设抛物线所对应的函数的表达式为$y = ax^{2}$,点$D的坐标为(5,n)$,则点$B的坐标为(10,n - 3)$。
将点$D(5,n)$,$B(10,n - 3)的坐标代入y = ax^{2}$,
得$\begin{cases}25a = n, \\ 100a = n - 3.\end{cases} 解得\begin{cases}a = -\frac{1}{25}, \\ n = -1.\end{cases} $
因此抛物线所对应的函数的表达式为$y = -\frac{1}{25}x^{2}$。
(2)由(1)得$n = -1$,所以$CD到拱顶的距离为1m$。
所以水位到达拱顶的时间为$1÷0.2 = 5(h)$。
因此,从警戒线开始,再持续$5h$水面到达拱桥的拱顶。

答案：
(1) 以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。
设抛物线方程为$y = ax^{2}$。
点$D$的坐标为$(5, n)$，点$B$的坐标为$(10, n - 3)$。
将$D(5, n)$和$B(10, n - 3)$代入$y = ax^{2}$，得到方程组：
$\begin{cases}25a = n, \\100a = n - 3.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -\frac{1}{25}, \\n= -1.\end{cases}$
因此，抛物线的函数表达式为：
$y = -\frac{1}{25}x^{2}$。
(2) 由
(1)得$n = -1$，所以$CD$到拱顶的距离为$1$m。
水位到达拱顶的时间为：
$1 ÷ 0.2 = 5$（小时）。
因此，从警戒线开始，再持续$5$小时水面到达拱桥的拱顶。