《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

17. (16 分)综合与实践
【实验操作】如图 7,小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为$100 cm$的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点$O$并将其吊起来。在中点$O的左侧与中点O相距30 cm处挂一个重10 N$的物体,在中点$O$的右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态。改变弹簧秤与中点$O的距离L$($cm$),观察弹簧秤的示数$F$($N$)的变化情况,得出如下几组实验数据：
| $L/cm$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ | $30$ |
| $F/N$ | $30$ | $20$ | $15$ | $a$ | $10$ |
【实验分析】(1)观察上表实验数据,表中$a$的值为____。
【数学建模】(2)以$L$的数值为横坐标,$F$的数值为纵坐标建立图 8 所示的平面直角坐标系,在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点。
(3)根据所画的图象,求出$F与L$之间的函数表达式。

答案：
(1)12
(3)根据图象，可设F与L之间的函数表达式为$F=\frac{k}{L}(L＞0)$.把$(10,30)$代入，可得$k=10×30=300$.所以F与L之间的函数表达式为$F=\frac{300}{L}(L＞0)$.

18. (2022 内蒙古鄂尔多斯中考)如图 9,已知一次函数$y = ax + b与反比例函数y = \frac{m}{x}$($x ＜ 0$)的图象交于$A(-2,4)$,$B(-4,2)$两点,且与$x轴和y轴分别交于点C$,$D$。
(1)根据图象直接写出关于$x的不等式\frac{m}{x} ＜ ax + b$的解集。
(2)求反比例函数与一次函数的表达式。
(3)$P是y$轴上一点,连接$AP$,当$\triangle AOP的面积等于\triangle AOB$的面积的一半时,请求出点$P$的坐标。

答案：
(1)$-4＜x＜-2$
(2)将点$A(-2,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=-8$.故反比例函数的表达式为$y=-\frac{8}{x}$.分别将点$A(-2,4)$，$B(-4,2)$的坐标代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}-2a+b=4,\\-4a+b=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=6.\end{cases}$故一次函数的表达式为$y=x+6$.
(3)在$y=x+6$中，当$y=0$时，$x=-6$.所以点C的坐标为$(-6,0)$.则$OC=6$.因此$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OC\cdot(y_{A}-y_{B})=\frac{1}{2}×6×(4-2)=6$.所以$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}×6=3$.因为点P在y轴上，所以$\frac{1}{2}OP\cdot|x_{A}|=3$，即$\frac{1}{2}OP\cdot2=3$.解得$OP=3$.故点P的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$.