《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

7. 已知抛物线 $ y = x^2 - (2m + 2)x + m^2 + 2m $,其中 $ m $ 是常数。
(1)求证：不论 $ m $ 为何值,该抛物线与 $ x $ 轴一定有两个交点。
(2)当该抛物线的对称轴为直线 $ x = 4 $ 时,
①求该抛物线所对应的函数的表达式。
②把该抛物线沿 $ y $ 轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点？

答案：
(1)证明:因为$\Delta=[-(2m+2)]^{2}-4\cdot1\cdot(m^{2}+2m)=4m^{2}+8m+4-4m^{2}-8m=4＞0$，所以不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个交点.
(2)解:①抛物线的对称轴为直线$x=4$，即$x=-\frac{-(2m+2)}{2×1}=4$.解得$m=3$.因此该抛物线所对应的函数的表达式为$y=x^{2}-8x+15$.②因为$y=x^{2}-8x+=(x-4)^{2}-1$，所以该抛物线沿y轴向上平移1个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个交点.

8. 综合与探究
【问题情境】某班数学兴趣小组对函数 $ y = x^2 - 2|x| $ 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整。
【知识运用】
(1)自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数,$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
| $ x $ | …$ $ | $ -3 $ | $ -\frac{5}{2} $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \frac{5}{2} $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 3 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ m $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ 3 $ | …$ $ |

其中,$ m = $______。

(2)根据表中数据,在图 12 所示的平面直角坐标系中(网格单位长度为 1)描点、连线,画出了该函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分。
【观察发现】
(3)观察函数图象,写出两条该函数的性质：
①______；
②______。
【拓展探究】
(4)进一步探究函数图象发现：
①该函数图象与 $ x $ 轴有______个交点,所以方程 $ x^2 - 2|x| = 0 $ 有______个实数根。
②方程 $ x^2 - 2|x| = 2 $ 有______个实数根。
③若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2|x| = a $ 有 4 个实数根,则 $ a $ 的取值范围是______。
]

答案：

(1)0
(2)如图49.
(3)①函数$y=x^{2}-2|x|$的图象关于y轴对称 ②当$x＞1$时，y随x的增大而增大(答案不唯一，符合要求即可)
(4)①3 3 ②2 提示:函数$y=x^{2}-2|x|$的图象与直线$y=2$有2个交点，所以方程$x^{2}-2|x|=2$有2个实数根. ③$-1＜a＜0$ 提示:结合图象知，当$-1＜a＜0$时，函数$y=x^{2}-2|x|$的图象与直线$y=a$有4个交点，所以a的取值范围是$-1＜a＜0$.