《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 已知反比例函数 $ y = \frac { k } { x } $,当 $ x = - 3 $ 时,$ y = 5 $,则这个函数的表达式是 ______。

答案： $y=-\dfrac{15}{x}$

1. 下列函数中,是反比例函数的为( )。

A.$ y = x + 3 $
B.$ y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $
C.$ \frac { y } { x } = 2 $
D.$ y = \frac { 9 } { x } $

答案： D

2. 若 $ y $ 与 $ x $ 成反比例,且当 $ x = 3 $ 时,$ y = 1 $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为( )。

A.$ y = 3 x $
B.$ y = \frac { 3 } { x } $
C.$ y = - \frac { 3 } { x } $
D.$ y = \frac { 1 } { 3 } x $

答案： B

3. 已知等腰三角形的面积为 $ 10 $,底边长为 $ x $,底边上的高为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为( )。

A.$ y = \frac { 10 } { x } $
B.$ y = \frac { 5 } { x } $
C.$ y = \frac { 20 } { x } $
D.$ y = \frac { x } { 20 } $

答案： C

4. 若函数 $ y = \frac { a + 3 } { x } $ 是 $ y $ 关于 $ x $ 的反比例函数,则常数 $ a $ 满足的条件是 ______。

答案： $a\neq -3$

5. 已知反比例函数 $ y = - \frac { 3 } { 2 x } $。
1. 这个函数的比例系数是 ______,自变量的取值范围是 ______。
2. 当 $ x = - 10 $ 时,$ y $ 的值是 ______。
3. 当 $ y = 6 $ 时,$ x $ 的值是 ______。

答案：
(1)$-\dfrac{3}{2}$ $x\neq 0$
(2)$\dfrac{3}{20}$
(3)$-\dfrac{1}{4}$

6. 已知一组菱形的面积为定值,当菱形的一条对角线长为 $ 4 cm $ 时,它的另一条对角线长为 $ 12 cm $。
1. 设菱形两条对角线的长分别为 $ x cm $,$ y cm $,求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式。这个函数是反比例函数吗？若是,则写出它的比例系数。
2. 当某个菱形的一条对角线长为 $ 6 cm $ 时,求这个菱形的边长。

答案：
(1)由题意,得$S_{菱形}=\dfrac{1}{2}× 4× 12=24({cm^{2}})$.又菱形的两条对角线的长分别为$x\ {cm}$,$y\ {cm}$,则$\dfrac{1}{2}xy=24$.所以$y=\dfrac{48}{x}$.因此这个函数是反比例函数,比例系数是48.
(2)当菱形的一条对角线长为$6\ {cm}$时,另一条对角线长为$\dfrac{48}{6}=8({cm})$.因此菱形的边长为$\sqrt{\left( \dfrac{6}{2}\right)^{2}+\left( \dfrac{8}{2}\right)^{2}}=5({cm})$.

7. 如下图,在矩形 $ A B C D $ 中,$ A B = 9 $,$ B C = 12 $,$ P $ 为 $ B C $ 边上任意一点,连接 $ A P $,作 $ D E \perp A P $ 于点 $ E $。设 $ A P = x $,$ D E = y $。
1. 连接 $ D P $,求 $ \triangle A D P $ 的面积。
2. 当点 $ P $ 在 $ B C $ 边上运动时,线段 $ A P $ 的长也随之变化。求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并指出 $ x $ 的取值范围。

答案：
(1)因为$AB=9$,$AD=BC=12$,所以$S_{\triangle ADP}=\dfrac{1}{2}AD\cdot AB=\dfrac{1}{2}× 12× 9=54$.
(2)因为$S_{\triangle ADP}=\dfrac{1}{2}AP\cdot DE=\dfrac{1}{2}xy=54$,所以$y=\dfrac{108}{x}$.连接$AC$.因为点$P$为$BC$边上的一个动点,所以$AB\leqslant AP\leqslant AC$.又$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15$,所以$9\leqslant x\leqslant 15$.